Los significados de la fracción

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Reseña

 Significados de la fracción

DESDE LA HISTORIA

Los conocimientos matemáticos iniciales en el campo numérico hallaron su forma de expresarse mediante el uso de los números naturales, números que facilitaban el conteo de cantidades y la medida de magnitudes y con los que se podía operar para resolver situaciones cotidianas. Pero dentro de estas mismas situaciones existen y existieron siempre otras, tales como los repartos de herencias, bienes y tierras o pago el pago de tributos, diezmos o impuestos, y otras más en las que además de las cantidades enteras implicadas, aparecía un nuevo elemento a considerar: la relación entre la parte y el todo.

Como la parte y el todo venían denotados por números naturales, se requería de una nueva expresión, un nuevo tipo de número, para indicar esta relación entre dos números naturales, éste es el significado cultural primigenio de la fracción: la expresión numérica de la relación entre una parte y el todo.

Este requerimiento cultural de expresar números que representen fracciones aparece plasmado en símbolos abstractos ya desde las culturas babilónica y egipcia; es decir, desde unos 3000 años a.n.e, los babilonios por ejemplo utilizaron fracciones cuyos denominadores eran potencias de 60 y en ellas representaban fracciones de la forma 1/n, así por ejemplo la inscripción igi 2 gál-bi 30´ se traduce en términos actuales como: ½ = 30/60.

Por su parte los egipcios también utilizaron símbolos acordes a su sistema de numeración para denotar fracciones. Así, las fracciones del tipo 1/n (salvo ½ y ¼) se representaban con la notación correspondiente del número n y un óvalo o punto superpuesto al número. Las demás fracciones, salvo 2/3, que tenía también un símbolo particular de representación se reducen a la suma de fracciones unitarias. Tanto los babilonios como los egipcios dieron a las fracciones un uso práctico, en la arquitectura, el comercio, la astronomía, etc. Pero no hubo entre ellos una preocupación teórica acerca del número, como sí la hubo en la cultura griega.

Los Pitagóricos consideraban como número solamente a los números naturales, y que la naturaleza se reducía a estos números  en el sentido de que todo objeto podía expresarse con un número y las relaciones entre los objetos siempre como una relación entre números. Para lograr esta relación suponían que siempre funcionaría el principio de conmensurabilidad, es decir, que dadas dos magnitudes, siempre es posible encontrar una magnitud menor que encajara un número exacto de veces en cada una de las dos magnitudes relacionadas. Es decir, dados los segmentos a y b, podía suceder que ni a encajar un número de veces exacto en b, ni viceversa. Pero entonces, siempre era posible encontrar un segmento menor c, tal que estuviera contenido n veces en a y m veces en b, con lo que la relación entre a y b podía denotarse mediante la expresión n/m. Pero esta relación y su expresión como aparente cociente de dos números naturales no era considerada como un nuevo número, sino como una razón entre ambas magnitudes, es decir, como la expresión numérica de la relación entre ellas, sin que ambas estuvieran necesariamente logadas con un par parte/todo, es decir, con los griegos no existían las fracciones al estilo de los babilonios y egipcios.

La idea de que las fracciones eran número se consolidó a partir del Renacimiento. “En 1585, Simon Stevin da la idea de una solución que imperará durante tres siglos, al proponer una nueva definición: “número es aquello mediante lo que se explica la magnitud de alguna cosa” (Ferreirós, 1998, p. 8). Definición que Newton clarifica en 1707, en su Arithmetica Universalis: Entendemos por número no tanto una multitud de unidades cuanto la razón entre una cantidad abstracta cualquiera y otra del mismo género que se toma por unidad. “De esta manera una fracción como 2/3 que inicialmente solo representaba la magnitud de la parte y la del todo del que procedía, se interpreta también como un número que mide el número de veces que la parte está contenida en el todo, considerando éste como la unidad. Así las fracciones, como los números naturales ya hasta los propios números irracionales, se convierten en números-medida de magnitudes comparadas con la unidad.” (Ferreirós, 1998, p. 15). Por consiguiente, todos pueden representarse como puntos de la recta numérica.[pic 5]

DESDE LA MATEMÁTICA

En sentido amplio, se llama número racional o fracción común, a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero –el término "racional" alude a "ración" o parte de un todo, y no al pensamiento o actitud racional, para no confundir este término con un atributo del pensamiento humano.

Un número racional es una clase de pares ordenados de enteros. Los pares ordenados se describen en la forma m/n, con la restricción de que n nunca es 0. (Peterson, 1994, p. 200)

El que se pida que n sea diferente de cero es consecuencia de la interpretación de división. En el par ordenado m/n, a m se le llama numerador, a n se le llama denominador. Esta terminología tiene su origen en la interpretación de fracción. En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico del número racional en cuestión a la fracción irreducible, la de términos más sencillos. Las fracciones equivalentes entre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de la aplicación de una relación de equivalencia al conjunto de números fraccionarios.

El conjunto de los racionales se denota por Q, que significa quotient, "cociente" en varios idiomas europeos. Este conjunto de números incluye a los números enteros y es un subconjunto de los números reales.[pic 6]

Q = [pic 7][pic 8]Escriba aquí la ecuación.

Los números racionales cumplen la propiedad arquimediana o de densidad, esto es, para cualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre ellos, propiedad que no estaba presente en los números enteros, por lo que los números racionales son densos en la recta de los números reales. Así mismo la adición y la multiplicación en Q son conmutativas, existen elementos neutros e inversos aditivos y multiplicativos así como las leyes de cerradura asociativa y distributiva.

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