METODO DE LA SECANTE

PROYECTO DE AULA. PRIMERA ENTREGA

Método de la secante.

Este método se basa en dos aproximaciones iniciales, es decir X0 y X1, de cuyas intersecciones con la curva de la función f(X), o sea f(X0) y f(X1) se traza una recta secante la cual se prolonga hasta donde cruce el eje X, en cuyo punto se ubica la nueva aproximación X2. Luego el procedimiento de repite con X1 y X2 trazando una recta secante de f(X1) a f(X2) cuya intersección con el eje X genera la nueva aproximación X3 y así se prosigue hasta lograr la convergencia, que será el punto donde la curva f(X) intersecta al eje X. esta descripción del método se ilustra gráficamente en la figura II.4.

La descripción del algoritmo por pasos es la siguiente:

Paso 1.- Se definen las aproximaciones iniciales X0 y X1, calculándose las respectivas f(X0) y f(X1) con la ecuación de la función f(X).

Paso 2.- Se calcula la nueva aproximación mediante la siguiente formula:

Paso 3.- Checar la convergencia mediante la fórmula normal dada por la Ec.(I.9), en caso de no haberse logrado, ir al siguiente paso.

Paso 4.- Verificar que le número de interaciones permitido no haya sido rebasado, en caso que así fuese, habría que detener la ejecución del método, en caso contrario proseguimos.

Paso 5.- Obtener (X1+I) e ir nuevamente al paso 2 para una nueva interación.

Ejemplo II.4.- Hallar una raíz de la ecuación f(X) = X4 – 2X2 + 3X – 5 = 0 utilizando el método de la secante.

Solución:

Elegiremos las dos aproximaciones iniciales X0 = 0 y X1 = 2 las cuales al sustituirse en la ecuación del problema darán f(X0) y f(X1) = 9.0.

Ahora de acuerdo al paso dos, obtendremos nuestra nueva aproximación X2 por medio de la Ec.(II5), entonces:

Por su parte para f(X2), sustituimos el valor de X2 en la ecuación y tendremos,

f(X2) = -3.6172428

De aquí vamos nuevamente al paso 2 a calcular la nueva aproximación X3, entonces:

Por su parte para f(X3) tendremos:

f(X3) = -2.721531

De aquí e proceso se repite hasta lograr la convergencia, la secuencia de resultados la presentaremos en la tabla II.3. En esta tabla podemos observar que la convergencia se logra para la aproximación número 12, si la condición la establecemos en 1x 10-5.

Bibliografía.

• Izar, J. (1998). Ecuaciones algebraicas no lineales. Elementos de métodos Numéricos para Ingeniería. (pp. 27-28). San Luis Potosí, S.LP., México.

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