Método de la Secante e Interpolación Cúbica

República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación

UNEFA – Núcleo la Isabelica

Valencia – Estado – Carabobo

Método de la Secante

e Interpolación Cúbica

Profesor:                                                                                       Bachilleres:

Ing. Camilo Duque                                                                       Milgary Gonzalez CI: 28.071.899

                                                                                            Jhon Barrios CI: 26.509372

Diciembre, 2016

1. Método de la Secante

El método de la secante se define como una variante del Método de Newton. A partir de la ecuación iterativa del método de Newton, se sustituye la derivada por una expresión próxima.

El método de Newton está dado por:

[pic 1]

Y la derivada evaluada en [pic 2] está dada por:

[pic 3]

Al aproximar el valor del límite evaluado en [pic 4] , tenemos que:

[pic 5]

Al sustituir este valor en la ecuación que define la iteración del método de Newton, se obtiene el método de la secante:

[pic 6]

Paso a paso:

a)      Se seleccionan dos valores como punto de partida [pic 7]  y [pic 8]  (dentro del intervalo de interés), y se obtiene [pic 9]  mediante la ecuación iterativa.

b)      Se genera una sucesión de valores [pic 10]  que se espera converja a la raíz de la ecuación [pic 11] .

c)      Se suspende el proceso cuando se llegue al valor de la raíz o a la aproximación de ésta tomando en cuenta la precisión deseada.

[pic 12]

Gráfica – Método de la Secante

Derivación del método

El método se basa en obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos (xn−1, f(xn−1)) y (xn, f(xn)). A dicha recta se le llama secante por cortar la gráfica de la función. En la imagen de arriba a la derecha se toman los puntos iniciales x0 y x1, se construye una línea por los puntos (x0, f(x0)) y (x1, f(x1)). En forma punto-pendiente, esta línea tiene la ecuación mostrada anteriormente. Posteriormente se escoge como siguiente elemento de la relación de recurrencia, xn+1, la intersección de la recta secante con el eje de abscisas obteniendo la fórmula, y un nuevo valor. Seguimos este proceso, hasta llegar a un nivel suficientemente alto de precisión (una diferencia lo suficientemente pequeñas entre xn y xn-1).

Método de la secante

El principal inconveniente del método de Newton estriba en que requiere conocer el valor de la primera derivada de la función en el punto. Sin embargo, la forma funcional de f(x) dificulta en ocasiones el cálculo de la derivada. En estos casos es más útil emplear el método de la secante.

El método de la secante parte de dos puntos (y no sólo uno como el método de Newton) y estima la tangente (es decir, la pendiente de la recta) por una aproximación de acuerdo con la expresión:

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