Manual de Riesgos y Avenamiento UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGIA

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INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGIA

APLICACIONES MATEMÁTICAS

EXAMEN SEGUNDO PARCIAL

INTEGRANTES DEL EQUIPO:

• ALEGRIA VILLARRUEL SAUL PATRICIO
• GONZALEZ LAGOS LAURA ELENA
• MUNIVE MERCADO KARINA MAYTE
• OCHOA ALVARADO JOSE FERNANDO
• OROZCO ORTIZ ESTHER JEANETTE
• ROSALES FLORENCIO DULCE MARIA

PROFESORES:

• QUIROZ ARAN VICTOR ADRIÁN
• GUADARRAMA URIBE CÉSAR

EQUIPO 1

GRUPO: 3MM1

Problema 1:

Un modelo matemático sencillo que permite determinar el tiempo necesario para limpiar los Grandes Lagos se puede desarrollar mediante un análisis múltiple por compartimentos. En particular, podemos ver a cada lago como un tanque que contiene un líquido donde se ha disuelto un contaminante particular (DDT, fósforo, mercurio). En forma esquemática, podemos ver a los lagos como formados por cinco tanques unidos como se indica en la figura.

En nuestro modelo establecemos las siguientes hipótesis:

1. El volumen de cada lago permanece constante.

2. Las tasas de flujo son constantes en todo el año.

3. Cuando un líquido entra al lago, ocurre una mezcla perfecta y los contaminantes se distribuyen de manera uniforme.

4. Los contaminantes se disuelven en el agua y entran o salen por un flujo de la solución hacia fuera o hacia adentro.

Antes de usar este modelo para obtener estimaciones de los tiempos de limpieza para los lagos, consideremos algunos modelos más sencillos:

(a) Use las tasas de flujo de salida dadas en la figura 5.50 para determinar el tiempo necesario para “drenar” cada lago. Esto proporciona una cota inferior para el tiempo necesario para eliminar todos los contaminantes.

(b) Se obtiene una mejor estimación suponiendo que cada lago es un tanque independiente, donde sólo entra agua pura. Use este método para determinar el tiempo necesario para que el nivel de contaminación en cada lago se reduzca a 50% de su nivel original. ¿Cuánto tiempo se necesita para reducir la contaminación a 5% de su nivel original?

(c) Por último, para tomar en cuenta el hecho de que la contaminación de un lago fluye al siguiente lago de la cadena, use todo el modelo de varios compartimentos dado en la figura para determinar el momento en que el nivel de contaminación en cada lago se haya reducido a 50% de su nivel original, suponiendo que la contaminación ha cesado (es decir, los flujos hacia adentro no provenientes de un lago son de agua pura). Suponga que todos los lagos tienen en un principio la misma concentración de contaminantes p. ¿Cuánto tiempo se necesita para que la contaminación se reduzca a 5% de su nivel original?

1. Para determinar en cuanto tiempo se vacía cada lago se tiene que considerar que el flujo de salida es igual al flujo de entrada recordando a su vez que este es un valor que depende del tiempo por lo que Q=dV/dt

Para cada lago se tiene que resolver esta ecuación diferencial de la siguiente forma

Lago Superior

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Al ser una ecuación de variables separables se integra quedando

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Estableciendo la condición inicial V(0)=15 al ser este el flujo de entrada y sustituyendo en la ecuación 3

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Sustituyendo el volumen constante que contiene el lago superior V(t)=2900 y despejando el tiempo de la ecuación 3 tenemos que

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Se necesitan 192.33 años para drenar el lago superior

Se aplica este mismo razonamiento a los lagos restantes

Lago Michigan

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Integrando queda

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Estableciendo la condición inicial V(0)=38 al ser este el flujo de entrada y sustituyendo en la ecuación 9

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Sustituyendo el volumen constante que contiene el lago superior V(t)=1180 y despejando el tiempo de la ecuación 9 tenemos que

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Se necesitan 30.05 años para drenar el lago Michigan

Lago Huron

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Integrando queda

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Estableciendo la condición inicial V(0)=68 al ser este el flujo de entrada y sustituyendo en la ecuación 15

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Sustituyendo el volumen constante que contiene el lago superior V(t)=850 y despejando el tiempo de la ecuación 3 tenemos que

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Se necesitan 11.5 años para drenar el lago Huron

Lago Erie

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Integrando queda

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Estableciendo la condición inicial V(0)=38 al ser este el flujo de entrada y sustituyendo en la ecuación 3

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Sustituyendo el volumen constante que contiene el lago superior V(t)=116 y despejando el tiempo de la ecuación 3 tenemos que

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