Matematica semana 5

MATEMÁTICA

SEMANA 5 INECUACIONES Y DESIGUALDADES

PARTE II

Todos los derechos de autor son de la exclusiva propiedad de IACC o de los otorgantes de sus licencias. No está permitido copiar, reproducir, reeditar, descargar, publicar, emitir, difundir, poner a disposición del público ni utilizar los contenidos para fines comerciales de ninguna clase. ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 5

1

2 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 5

ÍNDICE

INECUACIONES Y DESIGUALDADES ..................................................................................................... 4

APRENDIZAJES ESPERADOS ................................................................................................................. 4

INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................... 4

INECUACIONES FRACCIONARIAS ......................................................................................................... 5

INECUACIONES RACIONALES ................................................................................................................... 11

COMENTARIO FINAL .......................................................................................................................... 15

REFERENCIAS ..................................................................................................................................... 16

3 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 5

INECUACIONES Y DESIGUALDADES

APRENDIZAJES ESPERADOS

• Resolver inecuaciones fraccionarias y racionales, considerando puntos críticos, restricción e intervalos de solución. .

INTRODUCCIÓN

Existen inecuaciones que se escriben a través de fracciones tal como se muestra en los siguientes ejemplos:

a)

( x

- ( x

13 - )( 5 - )

x )

≤

0

b) x x

+ +

1 3

-≤

1

c) x

2

2

- 4

+

x

+ x

2 ≤

1

Este tipo de inecuaciones corresponde a las que se estudiarán durante el desarrollo de esta semana, donde se trabajarán los diferentes procedimientos, que permiten resolver tales inecuaciones.

4 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 5

INECUACIONES FRACCIONARIAS

Una inecuación fraccionaria se define de la forma

bax

, el símbolo puede ser ≥ , < o > .

Para resolver este tipo de inecuaciones se debe efectuar el siguiente proceso:

1) Se realiza la restricción, la cual nace de exigir que el denominador sea diferente a cero.

2) Se calculan los puntos críticos, estos se obtienen de la exigencia de que cada factor sea cero.

3) Se construye la tabla de signos (estudiada en la semana anterior), vista en este módulo en

cada ejemplo.

4) Se extrae la solución de la tabla.

Ejemplos desarrollados:

1) Resolver

+ dcx +

0≤

( ( 12

x

x

-

+

5

) )

≤

0

:

Solución:

Restricción:

x x

- ≠

05 5 ≠ Se exigió denominador diferente a cero, con esto se obtuvo que el 5 no puede ser parte de la solución.

Se exige que cada paréntesis, sea cero, con esto se obtienen los puntos críticos:

5 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 5

( ) ( )

Tabla de valores:

Para obtener los signos de la tabla se debe reemplazar un número de cada intervalo en las expresiones

( 12 x + )

y

( x 5- )

. Por ejemplo:

• En el intervalo

⌉ │ ⌋

∞-

, - 1 2

│ ⌊

1-

, en este caso se

elige el 1- y se observa que:

112112 ( - )

+ = - + = - Resultado negativo

( - 651 )

- = - Resultado negativo

• En el intervalo

│ ⌊

⌈

se puede considerar cualquier número menor a

2

1

se puede considerar el 0, luego se observa:

1102 • + = Resultado positivo

550 - = - Resultado negativo

• En el intervalo

⌉ │ ⌋

- 2

5,

⌈

] +∞,5 [

se puede considerar el 6, luego se obtiene:

13112162 • + = + = Resultado positivo

156 - = Resultado positivo

6 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 5

1 Solución parcial:

s

p

= ⌈ │ ⌊

- 2

5,

⌉ │ ⌋

Solución final:

s

f

= ⌈ │ ⌊

- 1 2

5,

⌈ │ ⌊

Estos intervalos se obtienen pensando en que la inecuación es:

( Es decir hay que considerar aquellos valores reales que hacen que la expresión

( 12

x

x

-

+

5

) )

, sea

negativa, luego de la tabla interesa el resultado negativo, esto es:

1 Se observa que el signo menor remarcado corresponde al intervalo

⌈ │ ⌊

- 2

5,

⌉ │ ⌋

, considerando

cerrado el intervalo, porque el símbolo ≤ de la inecuación incluye al =, pero en la restricción se tenía que el 5 no podía ser solución, es por esto que se debe abrir el 5 y el resultado final es ⌈ │ ⌊

- 1 2

5,

⌈ │ ⌊

.

7 ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 5

2 2) Resolver -

x x

+

1

>

0

:

Solución:

Restricción:

x x

+ ≠

01 - ≠ 1

Puntos críticos:

...