Matematicas Basicas

ENSAYO

Ecuaciones de segundo grado:

Solución por factorización y Compleción del cuadrado

Por

Fulanito

México, a 30 de febrero de 2015

Introducción

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia la cantidad considerada del modo más general posible. El álgebra es una herramienta útil en la vida cotidiana de toda persona, ya que sin ella no sabríamos muchas de las cosas que pasan a nuestro rededor. Muchos de nosotros no lo sabemos pero usamos a toda hora el álgebra sin darnos cuenta, por ejemplo, las personas que fueron a la tienda y compraron unas frituras y un refresco, pero solo saben cuánto costaban las frituras y cuanto traían en total, en base a esto hacen una deducción rápida y sacan el valor de la soda, esto es algebra, aunque no lo creamos son cosas tan sencillas. El álgebra nos ayuda a resolver estos problemas de la vida cotidiana en la forma que hace que planteamos y tengamos distintas formas de resolver un problema ya sea sencillo como el ejemplo anterior o uno de mayor dificultad o utilidad, como por ejemplo si se quiere saber en una fábrica cuantos lotes de algún producto realiza por un día, un mes, un año, etc.

En el álgebra, una de las expresiones más comunes son las ecuaciones, que se definen como una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que solo se verifica o es verdadera para determinados valores de las incógnitas.

Así: 5x + 2 = 17

es una ecuación porque es una igualdad en la que hay una incógnita, la x.

Dentro de este mundo que son las ecuaciones, encontramos que hay algebraicas, trascendentales, diferenciales, integrales y funcionales; nosotros solo atenderemos las algebraicas que se subdividen en difomaticas, racionales, de primer grado (lineales) y de segundo grado (cuadráticas); más específicamente nos enfocaremos en sólo un tipo de ecuación, la cuadrática.

La ecuación cuadrática o de segundo grado es toda ecuación en la cual, una vez simplificada, el mayor exponente de la incógnita es 2. Así:

〖4x〗^2+7x+6=0

es una ecuación de segundo grado.

Como hemos visto en el curso, a lo largo de los años los matemáticos han desarrollado diferentes técnicas para este tipo de ecuaciones, estás técnicas son:

Por formule general

Solución por factorización

Compleción de cuadrado

En este ensayo se profundizará en el método de solución por factorización y en la compleción de cuadrado.

Solución por factorización

Una ecuación cuadrática se puede ver de la siguiente manera:

x^2-7x+12=0

En este caso, para resolverla, utilizando el método de la factorización, lo que debemos de hacer, es tomarla como si esta fuera un trinomio.

Lo que se debe hacer al tener el trinomio, es abrir dos paréntesis, en los cuales vamos a colocar como primer término de cada uno, a la raíz de los exponentes; en este caso, en x^2 y -7x su raíz es x.

x^2-7x+12

(┤)(┤)

(x)(x)

Para colocar los signos, debemos seguir la regla que nos dice: el signo del primer factor, es el signo del segundo término; el signo del segundo factor, es el producto del segundo término por el tercer término.

En este caso, nos quedaría como:

(x- )(x- )

El siguiente paso para factorizar, es localizar dos números que sumados me den el valor del segundo término, y multiplicados me den el valor del tercer término.

En este caso, necesitamos encontrar dos números que sumados nos den 7, y multiplicados nos den 12.

Estos números son el 3 y el 4, ya que: 3+4=7 y (3)(4)=12

Por lo tanto, nuestra expresión queda de la siguiente forma:

(x-3)(x-4)=0

Ahora, lo siguiente es igualar a cero cada expresión, para así resolverlas por separado y obtener los dos valores de las incógnitas x.

x-3=0x-4=0

x=0+3 x=0+4

x_1=3x_2=4

Por lo tanto, los valores soluciones para la expresión x^2-7x+12=0 son x_1=3 y x_2=4.

Sustituyendo los valores, podemos comprobarlo:

x^2-7x+12=0 x^2-7x+12=0

3^2-7(3)+12=0 4^2-7(4)+12=0

9-21+12=0 16-28+12=0

0=0 0=0

Un segundo caso para este método, sería encontrarnos con una ecuación de la forma:

〖4x〗^2+9=-15x

Como podemos observar, la ecuación no está igualada a cero, por lo que hay que pasarla a la forma: a^2+bx+c=0 , por lo que pasaremos el -15x del otro lado del signo para así igualarla a cero:

〖4x〗^2+9+15x=0

Ordenamos los términos de manera algebraica:

〖4x〗^2+15x+9=0

Inmediatamente podemos observar que no podemos usar el medio de factor común para factorizar, por lo que tomaremos el valor que tiene la x elevada al cuadrado (4), para multiplicar toda la ecuación; esto siguiendo una ley de la igualdad, que nos dice que al multiplicar una igualdad por el mismo multiplicador por cada uno de sus lados, la igualdad permanece. Por lo que nuestra ecuación quedará de la siguiente manera:

〖4x〗^2+15x+9=0

(4)(〖4x〗^2+15x+9)=(0) (4)

4(〖4x〗^2 )+4(15x)+4(9)=0(4)

Ahora, tenemos 〖4(4x〗^2), la cual no resolveremos, sino que solo la djaremos expresada; al dejarl expresada, la podemos escribir como una potencia, es decir que quedaría como 4^2 x^2.

En el segundo término 4(15x) lo que haremos es aplicar la propiedad conmutativa de la multiplicación, es decir que vamos a intercambiar los números, de tal forma que vamos a tener: 15(4x).

El tercer término se realiza como una multiplicación normal. Por lo que tendremos que:

4^2 x^2+15(4x)+36=0

Ahora, en el primer término, aplicaremos la propiedad llamada “producto de potencias con igual exponente” ( a^n*b^n=(〖ab)〗^2), por lo que:

〖(4x)〗^2+15(4x)+36=0

Una vez haciendo esto, podemos observar que tenemos una expresión elevada al cuadrado y una elevada a la 1 potencia. Por lo que podemos

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