Matematica Basica
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UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA DE MATEM´ ATICA
Curso Introductorio
Matem´aticas B´asicas
Gu´ıa Te´orica - Practica
Caracas, Venezuela
Julio 2009
´I
ndice general
Introducci´on 4
Conjuntos Num´ericos 5
1. Conjuntos Num´ericos 5
1.1. Operaciones con N´umeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Ecuaciones de primer grado con una inc´ognita. . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5. Ecuaciones de segundo grado con una inc´ognita. Propiedades de las raices.
Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5.1. Suma y producto de las ra´ıces reales de una ecuaci´on de 2 grado . . . 16
1.5.2. Ecuaciones que se reducen a ecuaciones de primer grado o de segundo
grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Polinomios 20
2. Polinomios 20
2.1. Suma y resta de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Producto de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3. Producto Notable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4. Divisi´on de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5. Factorizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6. Factorizaci´on por completaci´on de cuadrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6.1. Completaci´on de Cuadrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2
´ INDICE GENERAL 3
Funciones Trigonom´etricas 32
3. Funciones Trigonom´etricas 32
3.1. ´ Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.1. C´ırculo Trigonom´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.2. Medida de los ´angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.3. Conversion de Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2. Funci´on Coseno y Seno de un ´angulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1. Signo de las funciones cosenos y senos en los distintos cuadrantes . . 38
3.3. Relaci´on Fundamental de la Trigonometr´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.3.1. Coseno y Seno del ´ Angulo Nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.2. Coseno y Seno del ´ Angulo Recto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3.3. Coseno y Seno del ´ Angulo Llano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.4. Coseno y Seno del ´ Angulo de
3π
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.5. Coseno y Seno del ´ Angulo Completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.6. Coseno y Seno del ´ Angulo Opuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.7. Coseno y Seno de un ´ Angulo Agudo de un Tri´angulo Rect´angulo . . . 43
3.3.8. Coseno y Seno de un Algunos ´ Angulo Notables . . . . . . . . . . . . 45
3.4. Resoluci´on de Tri´angulos Rect´angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.5. Identidades Trigonom´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Introducci´on
El Curso de Inducci´on, dirigido a los estudiantes de nuevo ingreso a la Facultad de
Ciencias de la Universidad Central de Venezuela, tiene como prop´osito iniciar al estudiante
a la vida universitaria brind´andole asesoramiento a trav´es de los talleres de orientaci´on
vocacional y h´abitos de estudio y nivelarlo acad´emicamente en las ´areas de comprensi´on
lectora y matem´aticas.
En el ´area de matem´atica el objetivo del curso es reforzar en los estudiantes de nuevo
ingreso el conocimiento matem´atico, haciendo ´enfasis en una metodolog´ıa de razonamiento
l´ogico, pensamiento abstracto, a trav´es de la resoluci´on de problemas, brind´andole al
estudiante herramientas que permitan valorar el conocimiento matem´a tico.
El Departamento de Matem´atica ha elaborado esta gu´ıa con ayuda de los profesores y
preparadores que laboran en el departamento, que este a˜n o (2009) servir´an de facilitadores
para el curso.
Quiero agradecer muy especialmente a los Profesores: Robert Espitia, Maricarmen Andrade,
Yeiremi Freites a los preparadores Sahid Leal y Daniela Torrealba, asi como tambi´en
a las Se˜noras Mildred Graterol y Diosa Nieto secretarias del Departamento de Matem´atica
por su valiosa colaboraci´on.
Prof. Mariela Castillo
Jefa del Departamento de Matem´atica.
Escuela de Matem´atica.
Facultad de Ciencias.
Universidad Central de Venezuela.
Julio 2009
4
Cap´ıtulo 1
Conjuntos Num´ericos
1.1. Operaciones con N´umeros reales
N es el conjunto de los n´umeros naturales. Sus elementos son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., n, ...
La suma de n´umeros naturales es un n´umero natural.
La Adici´on de n´umeros naturales satisface las propiedades conmutativa, asociativa y
tiene un elemento neutro que es el 0.
El producto de n´umeros naturales satisface las propiedades conmutativa, asociativa,
distributiva respecto a la adici´on y tiene un elemento neutro que es el 1.
La sustracci´on y la divisi´on de n´umeros naturales no siempre resulta un n´umero natural.
As´ı, al restar 3−5 y al dividir 12÷5, la diferencia y el cociente no son n´umeros naturales.
Z es el conjunto de los n´umeros enteros. Sus elementos son: ...,−4,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, ...
Luego N ⊆ Z
La suma de n´umeros enteros es un n´umero entero.
La Adici´on de n´umeros enteros es conmutativa, asociativa, tiene un elemento neutro
que es el 0.
Todo n´umero entero tiene su opuesto o sim´etrico aditivo: el opuesto de x es −x.
5
Conjuntos Num´ericos 6
Para
...