Matrices Calculo Lineal

Transformando una matriz en una matriz escalonada.

Definición de matriz: Es un arreglo rectangular de números denominados elementos, ordenados en renglones (horizontal) y columnas (vertical).

Definición de matriz escalonada: Es aquella que tiene como primer elemento diferente de 0 de cada renglón el elemento unidad (1) y los elementos debajo de este deben ser 0.

Ejemplos:

Tipos de operaciones elementales para un matriz (utilizadas para obtener la matriz escalonada):

a) Intercambio de 2 filas.

b) Multiplicar una fila por un número k diferente de 0.

c) Multiplicar una fila por un número k diferente de 0 y sumárselo a otra fila.

Ahora veamos unos ejemplos utilizando transformaciones u operaciones elementales para convertir una matriz en una matriz escalonada.

Ejemplo 1. Convertir la siguiente matriz en una matriz escalonada.

Paso 1.- Operación elemental b: Lo primero que buscamos es convertir al primer elemento del primer renglón en uno, en la matriz anterior el primer elemento es 5 y lo convertimos en 1 multiplicando el renglón por 1/5, por lo que todos los elementos del renglón son afectados. El resultado lo vemos en el paso 2.

Paso 2.- Operación elemental c: Una condición de la matriz escalonada es que todos los elementos de bajo del primer 1 de cada renglón sean ceros, por lo que el primer elemento del tercer renglón debe ser cero, para este fin utilizamos la operación elemental c que anteriormente hemos definido, es decir multiplicamos cada elemento del primer renglón por menos uno sin afectarlos y se lo sumamos a cada elemento correspondiente del tercer renglón. Como vemos en el paso 3.

Paso 3.- Operación elemental b: Ahora buscamos que el primer elemento diferente de 0 del segundo renglón sea 1, en este caso el 6, para este fin lo multiplicamos por 1/6, así que la matriz queda como vemos en el paso 4.

Paso 4.- Operación elemental c: Ahora buscamos eliminar el elemento debajo del primer 1 del segundo renglón, para este fin multiplicamos el segundo renglón sin afectarlo por -2/5 y se lo sumamos al tercer renglón, es decir multiplicamos 1 por -2/5 y se lo sumamos a 2/5 que nos daría 0, luego multiplicamos 7/6 por -2/5 y se los sumamos a 6/5 que nos daría 11/15 como vemos en el paso 5.

Paso 5.- Operación elemental b: Ahora buscamos que el primer elemento diferente de 0 del tercer renglón sea uno, para ello multiplicamos el tercer renglón por 15/11 y listo, tenemos la matriz escalonada.

Ejemplo 2. Convertir la siguiente matriz en una matriz escalonada.

Finalmente la matriz escalonada de la matriz A sería la siguiente:

Etiquetas: Matemáticas

Introducción

Como trabajo final para el régimen de promoción de la asignatura Matemática I, desarrollaré a continuación esta monografía referida a la resolución desistemas por el método de Gauss- Jordan.

Luego de buscar y seleccionar la información referida al tema, y de realizar un repaso general acerca del tema matrices y ecuaciones lineales, me encuentro en condiciones de realizar este trabajo acorde a los requisitos que la cátedra propuso durante todo el cursado de la materia.

Desarrollo

El Método de Gauss – Jordan o también llamado eliminación de Gauss – Jordan, es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuacioneslineales con n números de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este caso desarrollaremos la primera aplicación mencionada.

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se debe en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su notación matricial:

Entonces, anotando como matriz (también llamada matriz aumentada):

Una vez hecho esto, a continuación se procede a convertir dicha matriz en una matriz identidad, es decir una matriz equivalente a la original, la cual es de la forma:

Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices simples operaciones de suma, resta, multiplicación y división; teniendo en cuenta que una operación se aplicara a todos los elementos de la fila o de la columna, sea el caso.

Obsérvese que en dicha matriz identidad no aparecen los términos independientes, esto se debe a que cuando nuestra matriz original alcance la forma de la matriz identidad, dichos términos resultaran ser la solución del sistema y verificaran la igualdad para cada una de las variables, correspondiéndose de la siguiente forma:

• d1 = x

• d2 = y

• d3 = z

Ahora que están sentadas las bases, podemos explicar paso a paso la resolución de sistemas de ecuaciones lineales por medio de este método.

Para ilustrarnos mejor lo analizaremos con un ejemplo concreto:

• Sea el sistema de ecuaciones:

• Procedemos al primer paso para encontrar su solución, anotarlo en su forma matricial:

• Una vez hecho esto podemos empezar a operar con las distintas filas y columnas de la matriz para transformarla en su matriz identidad, teniendo siempre en cuenta la forma de la misma:

• Lo primero que debemos hacer es transformar el 2 de la 1ª fila de la matriz original en el 1 de la 1ª fila de la matriz identidad; para hacer esto debemos multiplicar toda la 1ª fila por el inverso de 2, es decir ½.

• Luego debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad, para lograr esto, buscamos el opuesto de los números que se ubicaron por debajo del 1 de la primera columna, en este caso el opuesto de 3 que será -3 y el opuesto de 5 que será -5.

Una vez hecho esto, se procederá a multiplicar los opuestos de estos números por cada uno de los elemento de la 1ª fila y estos se sumaran a los números de su respectiva columna. Por ej.: en el caso de la 2º fila, se multiplicara a -3 (opuesto de 3) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el numero que le corresponda en columna de la segunda fila. En el caso de la 3ª fila se multiplicara a -5 (opuesto de 5) por cada uno de los elementos de la 1º fila y se sumara su resultado con el número que le corresponda en columna de la tercera fila.

• Nuestro siguiente paso es obtener el 1 de la 2ª fila de la matriz identidad, y procedemos de igual forma que antes, es decir multiplicamos toda la fila por el inverso del numero que deseamos transformar en 1, en este caso -13/2, cuyo inverso es -2/13

Además si observamos la tercera fila, nos damos cuenta que todos los elementos poseen el mismo denominador, entonces podemos eliminarlos

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