Matrices Lineales

5.3 La matriz de una transformación lineal.

Sea una transformación lineal es posible encontrar una matriz asociada a una transformación lineal

Desarrollo:

Si V y W son espacios de dimensión finita, y se eligen bases en estos espacios, entonces toda transformación¨®n lineal de V a W puede ser representada como una matriz. Por otro lado, toda matriz real m por n determina una transformación lineal de esta forma f(x) = Ax

Sea una base de V. Entonces todo vector v en V est¨¢ determinado de manera ¨ nica por los coeficientes en: Si f : V ¡ú W es una transformación lineal,

Lo cual implica que esto completamente determinada por los valores

Ahora es una base de W. Podemos representar cada f (vj) como

Entonces la función f está enteramente determinada por los valores ai, j. Si se trata de transformaciones de generalmente se usa la base can¨®nica.

Si cambiamos las bases, entonces la matriz ser¨¢ distinta, pero representar¨¢ la misma transformación

Esta transformación solo sirve en plano que sean de x,y,z para pasar a x,y

REPRESENTACION MATRICIAL DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Si A es una matriz de m x n y T: Rn → Rm está definida por Tx= Ax.

Rm determinando el espacio nulo y la imagen de la matriz correspondiente. Todavía mas, una vez que se sabe que Tx= Ax, se puede evaluar Tx para cualquier x en Rn mediante una simple multiplicación de matrices.Ahora se verá que para toda transformación lineal de Rn en Rm existe una matriz A de m x n tal que Tx= Ax para todo x € Rn. este hecho es sumamente útil. Si Tx=Ax, entonces un T= NA e imagen T=RA. Más aún, v (T) = dim un T =v(A) y ρ (T) = dim imagen T= ρ(A). Así se puede determinar núcleo, imagen, nulidad y rango de una transformación lineal de Rn

Como se verá, cualquier transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar por una matriz.

TEOREMA 1:

Sea T: Rn → Rm una transformación lineal. Entonces existe una matriz única de m x n, AT tal que.

Tx = AT x para toda x € Rn.

DEMOSTRACIÓN

Si bien las transformaciones lineales pueden estudiarse sin hacer referencia alguna a las bases de los espacios dominio y codominio, un cálculo efectivo de las mismas exige el conocimiento de dichas bases.

Cualquier transformación lineal T: V ® W puede representarse mediante una matriz: T(x) = A x. La matriz A dependerá de las bases elegidas para V y W. La matriz de una transformación lineal queda determinada cuando se conocen una base ordenada de V, una base ordenada de W y los transformados de la base de V,en,labasedeW.

Supongamos que el espacio V tiene una base {v1, ..., vn} y el espacio W tiene una base {w1, ..., wm}. Entonces cualquier transformación lineal de V en W se representa por una matriz A m x n.

Si T (vi ) = ai1 w1 + .... + aim wm, entonces la columna i de A es (ai1 .... aim

Supongamos que en el plano x-y la transformación de matriz A lleva a cada vector a su reflejo tomando como espejo el eje x, y la transformación de matriz B lleva a cada vector a su simétrico respecto del origen. Encontrar las matrices A y B, usando como base de R2 el conjunto {(1, 0), (0, 1)}.

a) ¿ Matriz A?

Transformado de (1, 0) = (1, 0)

Transformado de (0, 1) = (0, -1)

Entonces la matriz la matriz de la transformación es:

b) ¿ Matriz B?

Transformado de (1, 0) = (-1, 0)

Transformado de (0, 1) = (0, -1)

Entonces la matriz la matriz de la transformación es:

Encontrar A3x5 asociada a la transformación lineal P5 ® P3 / T (P(t)) = d2 P(t) /dt2, transformando P5 en P3 (polinomios de grado ≤ 4 en polinomios de grado ≤ 2).

Base en P5: {1, t, t2, t3, t4}. Base en P3: {1, t, t2}

Transformado de (1, 0, 0, 0, 0) = ( 0, 0, 0)

Transformado de (0, 1, 0, 0, 0) = ( 0, 0, 0)

Transformado de (0, 0, 1, 0, 0) = ( 2, 0, 0)

Transformado de (0, 0, 0, 1, 0) = ( 0, 6, 0)

Transformado de (0, 0, 0, 0, 1) = ( 0, 0, 12)

Entonces la matriz la matriz de la transformación es:

Si A es una matriz de m*n y T: Rn-Rm está definida por Tx = Ax, entonces, T es una transformación lineal. Ahora se verá que para toda transformación lineal de Rn en Rm existe una matriz A de m*n tal que Tx = Ax para todo x ϵ Rn. Este hecho es de gran utilidad. Si Tx = Ax. Entonces un T = NA e Im T = RA. más aun, v(T) = dim un T = v(A) y p(T) = dimIm T = p(A).

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