Problemario de algebra lineal (matrices)

TECNOLOGICO NACIONAL DE MEXICO COMPUS URUAPAN [pic 1][pic 2]

INGENIERIA CIVIL

ALGEBRA LINEAL

 3ER SEMESTRE. GRUPO: B

“NUMEROS COMPLEJOS”

PROFESOR: OSMANI GONZALEZ PUGA

PRESENTA: RANGEL TORAL SEBASTIAN

URUAPAN, MICH                                     AL 16 de septiembre de 2020

INTRODUCCION

A lo largo de la existencia de las civilizaciones el humano ha necesitado de las matemáticas para un sinfín de actividades de vital importancia, por ende los números han estado involucrados desde siempre en el  día a día, dentro de las múltiples actividades, es necesario si bien una rama de la matemática que se adapte de manera más exacta y sencilla para cumplir con los fines requeridos, de ahí la aplicación de numero naturales, enteros, racionales y reales, pero se ha llegado el punto en la evolución de hombre que estos no han sido suficientes para garantizar los fines, requeridos en las tareas, de esta manera de abre paso para los números complejos. Definiendo a manera de diccionario los complejos son: un par ordenado de números compuesto por una parte real y otra imaginaria.

Ejemplo.

Z=(X, Y)

X se le llama parte real de Z

Y se le llama parte imaginaria de Z

Así mismo el conjunto de dos números complejos, se denota por C

C:={(X,Y): X, Y €Ɍ}

De una manera muy resumida esto viene siendo los números complejos, aunque abordando de manera más amplia y específica, abordaremos a detalle en las siguientes páginas, las versaciones de estos así como casos especiales, historia, utilidad y aplicación en la ingeniería, como en demás contextos

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El concepto de número imaginario y después complejo se conoce en las matemáticas y se utiliza desde tiempos remotos. La historia de su surgimiento Refleja aquel rasgo general de desarrollo de los cálculos matemáticos donde la

introducción y utilización de las operaciones inversas conduce, como regla, a la

Necesidad de ampliación del dominio numérico. Así, la introducción de la sustracción necesito al fin y al cabo de la complementación de la serie natural con

Los números negativos, la división condujo a la ampliación de la serie natural

Hasta el conjunto de los números racionales. A su vez la operación de radicación Resulto la causa operativa de introducción del concepto del número real. El caso particular, cuando se trata se la extracción de raíz de potencia par de un número negativo exigía la introducción de los números imaginarios.

Solo en el siglo XVI en relación con la resolución algebraica de las ecuaciones cubicas R.Bombelli (1572) se apartó del tratamiento de los números imaginarios como misteriosos o absurdos y elaboro las reglas de las operaciones aritméticas con los números imaginarios. No obstante, aun en el curso de mucho tiempo, a pesar de algunas ideas exitosas (por ejemplo, de Wallis) respecto a la interpretación de los números imaginarios y complejos, su naturaleza no fue comprendida y la relación con ellos era como con cierta sustancia sobrenatural en las matemáticas. Incluso en el año 1702 G.W. Leibniz escribió que los números imaginarios es un hermoso y maravilloso refugio del espíritu divino, casi como la durabilidad entre la existencia y la no existencia. En la historia no hubo insuficiencia en semejantes afirmaciones sobre las propiedades místicas de los imaginarios, también por parte de otros científicos.

La poca claridad del concepto de número complejo no podía esconder su utilidad en la resolución de problemas concretos. Una gran cantidad de los hechos acumulados dio motivo a los matemáticos del siglo XVIII para trasladar el concepto de lo imaginario también al campo de las magnitudes variables. Ya que este traslado se realizaba para casos concretos, entonces en dependencia del carácter del problema, las magnitudes imaginarias se representaban frente a los investigadores con diferentes “apariencias”: física, geométrica o incluso analítica. El problema de la interpretación científica de los números complejos se resolvía a la vez en diferentes planos, junto con el desarrollo general del análisis matemático.

Los números complejos pueden ser sumados, restados multiplicados o divididos (salvo la división por 0 + 0i), las reglas formales y definiciones son iguales a las que usamos con los números reales

1)     a + bi = c + di si y solo si a= c  y  b = d

2)     (a + bi) + (c + di) = (a +c) +  (b +d) i

3)     (a + bi) - (c + di) = (a-c) +  (b - d) i

4)     (a + bi)(c+di) = ac + (bc+ad)i +bdi²  = (ac – bd) + (bc + ad)i

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Suma y resta:

La suma y resta con números complejos se realiza de la misma manera que con números reales.

Ejemplos:

(7 - 2i) + (3 - 3i) = 10  - 5i

(3 - i) + (2 + 3i) = 5 + 2i

2i + (-4 – 2i) = -4

(-4 + 2i) – (6 - 8i) = -10 – 10i

(5 + 2i) + (−8 + 3i) = −3 + 5i

Multiplicación con números  complejos

En la multiplicación se siguen las mismas reglas algebraicas que con números reales solo que con números complejos, llegamos a un resultado donde encontramos i2, donde i2 = -1.

Ejemplos

:[pic 5]

División de números complejos:

En la división se hace uso del conjugado del denominador.

Ejemplo: [pic 6]

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  lo primero que hacemos es calcular el conjugado del denominador, y luego multiplicarlo por la división.

La unidad imaginaria i es definida como la raíz cuadrada de –1. Así, i 2 = –1.

i 3 puede ser escrito como ( i 2 ) i , que es igual a (–1) i o simplemente – i .

i 4 puede ser escrito como ( i 2 )( i 2 ), que es igual a (–1)(–1) o 1.

i 5 puede ser escrito como ( i 4 ) i , que es igual a (1) i o i .

Por lo tanto, el ciclo se repite cada cuatro potencias

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Formas de expresar un número complejo

TRES FORMAS DE EXPRESAR UN COMPLEJO

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 Como ejemplo, consideremos el número complejo  z = 4 - 3 i, vamos a expresarlo en su forma trigonométrica y en la forma polar.

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