Calculo Lineal

1.1 Conceptos sobre las funciones lineales

En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

Algunos autores llaman función lineal a aquella con b= 0 de la forma:

Mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

Cuando b es distinto de cero.

Una función lineal de una única variable dependiente x es de la forma:

Que se conoce como ecuación de la recta en el plano x,y.

En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:

En esta recta el parámetro m= 1/2 por tanto de pendiente 1/2, es decir, cuando aumentamos x en una unidad entonces y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en el punto y= 2.

En la ecuación:

La pendiente de la recta es el parámetro m= -1, es decir, cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unidad; el corte con el eje y es en y= 5, dado que el valor de b= 5.

En una recta el valor de m se corresponde al ángulo de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:

Funciones lineales de varias variables

Las funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma

Representa un plano y una función

Representa una hipersuperficie plana de dimensión n y pasa por el origen de coordenadas en un espacio (n+1)-dimensional.

1.1.1 Definición de la recta

Una recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección.

Una recta tiene una sola dimensión: la longitud.

Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una letra minúscula.

Dos puntos determinan una recta.

Una recta indica una dirección y dos sentidos contrarios.

Las rectas secantes se cortan en un punto.

Las rectas paralelas no se cortan en ningún punto.

Dos rectas son coincidentes si todos sus puntos son comunes.

Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales de 90º.

1.1.2 Características

Se define como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.

Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor

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