Medidas de asimetría

.2 Medidas de asimetría

Se han propuesto diversas medidas de asimetría (o “coeficientes de asimetría”) de uso corriente en la práctica. El principal de ellos es el denominado coeficiente de asimetría de Fisher, definido como:

g1 = (xi – m)3 fi / s3

Otros coeficientes usados frecuentemente son los coeficientes de asimetría de Pearson

gMo = (x – Mo) / s

gMe = 3•(x – Me) / s

Estos coeficientes se estudian en los cursos introductorios de Estadística Descriptiva. En este apartado nos ocuparemos de otras medidas alternativas de asimetría que pueden utilizarse como complememento o sustitución de los anteriores.

4.2.1 Varianzas laterales

La idea rectora de las varianzas laterales es el medir la dispersión que hay a cada uno de los lados de la media. La varianza lateral negativa será la varianza respecto a la media de los valores inferiores a la media:

s_2 = xi<m(xi-m)2 fi

La varianza lateral positiva será la varianza respecto a la media de los valores superiores a la media:

s+2 = xi>m(xi-m)2 fi

Las desviaciones típicas laterales son las raices positivas de las correspondientes varianzas laterales y se pueden utilizarse en lugar de aquellas para las interpretaciones que siguen.

En caso de que la variable fuese asimétrica positiva, las desviaciones por encima de la media serían generalmente mayores que las desviaciones por debajo de la media y, por tanto, la varianza lateral positiva será mayor que la negativa. Si la varianza lateral negativa fueses superior a la positiva, eso querría decir que las desviaciones por debajo de la media serán en general mayores que las que hay por encima de la media, es decir, la asimetría será negativa. El caso intermedio entre ambas posibilidades es que las varianzas laterales sean iguales y sería lo que usulamente describimos como asimetría nula o simetría (en el sentido estadístico).

Calculemos estas varianza laterales en un ejemplo. Consideramos una tabla de frecuencias con asimetría positiva, incluyendo las desviaciones respecto a la media e indicando en rojo los valores inferiores a la media y en verde los superiores a la media:

Tabla de datos:

xi ni xi-mx

1 4 -2.58

2 6 -1.58

3 8 -0.58

4 5 0.42

5 3 1.42

6 2 2.42

7 1 3.42

8 1 4.42

9 1 5.42

m = 3.58

Seguidamente incluimos los cálculos de las varianzas laterales. Estúdiese el ejemplo para entender correctamente el funcionamiento de las fórmulas de las varianzas laterales.

Comprobamos que la varianza (+) es superior a la varianza (–) y por tanto la variable es asimétrica positiva.

La hoja de cálculo Excel con los anteriores cálculos puede descargarse en el entorno de la asignatura.

El grado de asimetría puede medirse mediante la comprobación de en cuanto es proporcionalmente superior una varianza respecto a la otra. Una buena medida de ello es el logaritmo del cociente de las desviaciones típicas laterales (que es lo mismo que la diferencia de logaritmos):

Medida de asimetría = ln (s+ / s_) = ln(s+) – ln(s_ ) .

Dicha medida será positiva, nula o negativa según el tipo de asimetría que se observe. En el ejemplo anterior la medida de asimetría sería: ln(2.47 / 1.57) = +0.45.

4.2.2 Varianzas laterales y Teorema de Tchebychev

Con las varianzas laterales podemos construir un intervalo de Tchebychev que refleje

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