Metodo De Eliminacion Algebra Lineal

En forma general este método propone la eliminación progresiva de variables en el sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores de todas las variables.

Sea por ejemplo el siguiente sistema de ecuaciones:

Lo que buscamos son 3 números, que satisfagan a las tres ecuaciones. El método de solución será simplificar las ecuaciones, de tal modo que las soluciones se puedan identificar con facilidad. Se comienza dividiendo la primera ecuación entre 2, obteniendo:

Se simplificará el sistema si multiplicamos por -4 ambos lados de la primera ecuación y sumando esta a la segunda. Entonces:

sumadolas resulta

La nueva ecuación se puede sustituir por cualquiera de las dos. Ahora tenemos:

Luego, la primera se multiplica por -3 y se le suma a la tercera, obteniendo:

Acto seguido, la segunda ecuación se divide entre -3.

Ahora se multiplica por 5 y se le suma a la tercera:

En este momento ya tenemos el valor de x3, ahora simplemente se procede a hacer la sustitución hacia atrás, y automáticamente se van obteniendo los valores de las otras incógnitas. Se obtendrá:

Se ha visto que al multiplicar o dividir los lados de una ecuación por un número diferente de cero se obtiene una ecuación nueva y válida.

Por otra parte, si se suma un múltiplo de una ecuación a otra ecuación del mismo sistema, el resultado es otra ecuación válida. Por último, si se intercambian dos ecuaciones de un sistema, lo que se obtiene es un sistema equivalente. Estas tres operaciones, cuando se aplican a los renglones de una matriz aumentada, que representa un sistema de ecuaciones, recibe el nombre de operaciones elementales de renglón.

Operaciones elementales de renglón

a) Multiplicar o dividir un renglón por un número distinto de cero.

b) Sumar el múltiplo de otro renglón a otro renglón.

c) intercambiar dos renglones

Hasta aquí hemos supuesto una situación idealmente simple en la que ningún pivote (o coeficiente diagonal), , se convierte en cero. Si cualqluier pivote se vuelve cero en el proceso de resolución, la eliminación hacia adelante no procederá.

El pivoteo consiste en intercambiar el orden de las ecuaciones de modo que el coeficiente del pivote, , tenga la magnitud (en valor absoluto) mayor que cualquier otro coeficiente que esté debajo de él en la misma columna y que por tanto vaya a ser eliminado. Esto se repite con cada pivote hasta completar la eliminación hacia adelante.

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