Metodos Numericos Gauss Yordan sust hacia atras.

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL[pic 1][pic 2][pic 3]

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA ZACATENCO

Análisis Numérico

Gauss Jordan Sustitución hacia atrás

Profesor:MAD. Silviano Escamilla García

Alumnos:

Cedeño Velázquez Josué 2014300290

Reynoso Morales Guillermo de Jesús 2014301557

Zepeda Saborio José Guillermo 2014302010

3AV2

MAYO 2016

Índice

Introducción.        

Solución de ecuaciones lineales simultáneas        

Eliminación gaussiana con sustitución hacia atrás.        

Ejemplo 1        

Ejemplo 2        

Programa eliminación gaussiana con sustitución hacia atrás. (Matlab)        

Conclusiones.        

Bibliografía        

Introducción.

El análisis numérico o cálculo numérico es la rama de las matemáticas que está encargada de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.

Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.

Solución de ecuaciones lineales simultáneas

Existen muchos problemas físicos y numéricos cuya solución se obtiene resolviendo un conjunto de ecuaciones lineales simultáneas. El problema tiene una solución única cuando hay n ecuaciones linealmente independientes y n incógnitas. Pero cuando hay menos que n ecuaciones entonces no siempre se puede obtener una solución única

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Para representarlas se usa la notación de doble subíndice que es bastante sencilla si se recuerda que el primero especifica el renglón y el segundo el número de la columna. Así, en la notación de matrices, un conjunto de coeficientes   se representan con A y los elementos[pic 6][pic 7]

 y   se representan con los vectores X y B, respectivamente. Usando las reglas del álgebra matricial, el conjunto de ecuaciones se puede representar en la forma:[pic 8][pic 9][pic 10]

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Eliminación gaussiana con sustitución hacia atrás.

Es uno de los métodos más utilizados para resolver sistemas lineales. En forma general este método propone la eliminación progresiva de variables en el sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores de todas las variables.

La principal característica de la eliminación hacia atrás es transformar el sistema original.

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En un sistema lineal equivalente

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donde U es una matriz triangular superior. La razón de lograr ésta transformación del sistema es que el nuevo sistema es más simple y resolverlo sólo requiere un proceso hacia atrás. Por ejemplo, contando con el sistema:

   
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su solución sería:

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Este proceso se le conoce como "sustitución hacia atrás

Para obtener una matriz como la anterior partimos de una matriz de la forma:  [pic 18]

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A partir de ella construimos la matriz aumentada de la forma

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Una vez hecho esto, procedemos a convertir el primer elemento del renglón 1 (R1) y de la fila 1 en uno, ya que nos interesa convertir la diagonal principal en 1 para ello se multiplicará el término por su inverso y si es negativo por su inverso negativo esto es: [pic 21]

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Ahora a todos los elementos debajo del 1 los convertiremos en ceros, para eso vamos a multiplicar el renglón pivote o el renglón que acabamos de convertir en 1 por un número que permita eliminar el primer elemento en este caso del renglón 2. Esto es

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Así convertimos en cero el elemento debajo de la diagonal principal, el mismo proceso se repite para todos los elementos debajo de la diagonal principal.

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Haciendo estos pasos obtendremos una matriz de la siguiente forma.

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Ahora procedemos a hacer 1 el elemento [pic 28]

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Y obtenemos

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Ahora volveremos cero a los elementos debajo de está fila.

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  Obtenemos la siguiente matriz.

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Repetimos el mismo proceso

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Así obtenemos:

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