Metodos numericos

“Métodos numéricos”

Ing. S. Saucedo Reyes.

13/11/2020 Instituto Tecnológico de Aguascalientes

g20153100@aguascalientes.tecnm.mx

RESUMEN- Los métodos numéricos se emplean para encontrar solución de problemas matemáticos determinados mediante la utilización de operaciones aritméticas. Este tratamiento numérico aproxima la solución dada una tolerancia previamente establecida y suele ser empleado por diferentes circunstancias, por ejemplo, cuando la complejidad del problema impide encontrar una solución analítica o cuando el tamaño de la solución lo hace impracticable para ser resuelto a mano.

La mayoría de problemas matemáticos pueden ser resueltos mediante el uso de programación, ya sea empleando métodos numéricos o de manera convencional.

Se busca implementar el lenguaje de programación para encontrar solución a problemas de cada uno de los siguientes métodos: Gauss-Jordan, descomposición LU, descomposición en valores singulares, método Cholesky, Descomposición QR, método de la bisección, método de la falsa posición, método de la secante, método de Newthon-Rapshon, Eigenvalores, matriz de Hessenberg, método de mínimos cuadrados y método de Marquardt. Para ello se empleará Python, el cual es un lenguaje de programación multiparadigma.

I. INTRODUCCIÓN

A medida que se aplica el modelado matemático para representar, predecir e interpretar los diferentes fenómenos que se presentan en la realidad, suelen suscitarse situaciones en las que la complejidad del modelo es un impedimento para encontrar una solución de la forma convencional, es entonces cuando se recurre a la implementación de algoritmos matemáticos que permitan calcular una aproximación a la solución, con un error menor a la tolerancia permitida, dichos algoritmos son llamados “Métodos numéricos”.

Actualmente los métodos numéricos son una herramienta importante en el campo de las ciencias aplicadas que tratan de diseñar métodos que aproximen, de forma eficiente las soluciones de problemas previamente formulados matemáticamente. [1]

En el presente artículo se muestra la programación de los métodos numéricos que se enlistan a continuación.

1. Gauss-Jordan.
2. Descomposición LU.
3. Descomposición en valores singulares.
4. Método Cholesky.
5. Descomposición QR.
6. Método de la bisección.
7. Método de la secante.
8. Método de la falsa posición.
9. Método de Newton-Rapshon.
10. Eigenvalores.
11. Matriz de Hessenberg.
12. Método de mínimos cuadrados.
13. Método de Marquardt.

II. FUNDAMENTOS TEÓRICOS.

1. Método de Gauss-Jordan.

El método de eliminación de Gauss-Jordan es una variante del método de Gauss para encontrar las soluciones de un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, de manera tal que, además de reducir el triángulo inferior a ceros, se hace lo propio con el triángulo superior. [2] Con esto, se obtiene directamente la matriz diagonal como se observa la ilustración 1.

[pic 1]

Ilustración 1. Diferencia entre el método de Gauss y Gauss-Jordan.

Para llegar a la matriz diagonal se utilizan operaciones, las cuales se denominan “reducción por renglones”.

Las operaciones elementales permitidas en la reducción de renglones se enlistan a continuación:

1. Multiplicar (o dividir) una fila un por número diferente de cero.
2. Sumar un múltiplo de una fila a otra fila.
3. Intercambiar dos renglones.

Una forma general para reducir una matriz 3x3 por este método es la siguiente.

[pic 2]        (1)

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

[pic 6](2)

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

[pic 10]

Este tipo de eliminación, además, puede ser empleada para simplificar la obtención del determinante, lo que frecuentemente facilita el cálculo del polinomio característico y los eigenvalores. [3]

2. Descomposición LU.

La factorización o descomposición LU es un método para factorizar una matriz como el producto de dos matrices; la primera, triangular inferior y la segunda, triangular superior, tal como se muestra en (3)

[pic 11]                 (3)

Donde

[pic 12]

La matriz U se obtiene a partir de la implementación de eliminación gaussiana en la matriz A, para obtener la forma triangular superior (2).

[pic 13]

Mientras que, en la matriz L, los coficientes L21, L31, L32 se obtienen de las operaciones por renglón realizadas para diagonalizar “A”. [3], por lo que la matriz L tendrá la forma siguiente:

[pic 14]

3. Descomposición en valores singulares.

La descomposición en valores singulares de una matriz es una factorización de la misma. Para cualquier matriz A de mxn, la matriz AT de nxn es simétrica y por tanto puede ser acomodada en su forma diagonal ortogonalmente. Los eigenvalores de ATA son reales y no negativos (≥0). Esto se sabe ya que para cualquier autovector u, se tiene que

[pic 15]         (4)

Si se multiplica a ambos lados por u, se obtiene la igualdad

[pic 16]        (5)

Que indica que [pic 17], por tanto λ≥0.

Si A es una matriz mxn, los valores singulares de A son las raíces cuadradas de los autovalores de ATA, y se denotan mediante σ1, σ2, …, σn. Es una convención acomodar los valores singulares de modo que σ1≥ σ2…≥ σn,

La matriz de A de mxn (m≥n) se puede factorizar como

[pic 18]        (6)

Donde U es una matriz con columnas ortogonales de mxn, V es una matriz ortogonal de nxn, y [pic 19]una matriz “diagonal” de nxn.

4. Método Cholesky.

El método de Cholesky se emplea para encontrar solución de ecuaciones mediante la descomposición de la matriz de coeficientes en dos matrices triangulares; una superior y otra inferior. El objetivo es encontrar L tal que A=LLT, donde L es la matriz triangular inferior y su traspuesta es la superior. La matriz cuadrada A tiene una descomposición Cholesky si y solo si A es Hermetiana y semidefinida positiva [4].

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