Momentos De Inercia

Momentos de Inercia

Como un cuerpo tiene forma y tamaño definidos, aplicarles un sistema de fuerzas no concurrentes pude ocasionar que se traslade y gire. Los aspectos translacionales del movimientos estar regidos por la ecuación F=ma .

El Momento de Inercia es una medida de la resistencia de un cuerpo a aceleraciones angulares (M=I∝).

Definimos al momento de inercia como la integral del “segundo momento” con respecto a un eje de todos los elementos de masa dm que constituyen el cuerpo, por ejemplo el momento de inercia de un cuerpo con respecto al eje z .

Aquí el “brazo de momento” r es la distancia perpendicular del eje z al elemento arbitrario dm. Coma la formulación implica a r el valor de I es diferente para cada eje con respecto al cual se formula. El momento de inercia de una masa es siempre una cantidad positiva, las unidades mas usadas para su medición son: kg.m^2 o slug.〖pie〗^2.

Si un cuerpo esta constituido de material con densidad variable ρ=ρ (x,y,z) su masa experimental dm puede ser expresada en términos de su densidad y volumen dm como dm=ρ dv.

Cuando el volumen elemental elegido para efectuar la integración tiene dimensiones infinitesimales, el momento de inercia de un cuerpo debe ser determinado usando una integral triple.

Los elementos tipo cascarón o tipo disco son mas usados para este fin.

Procedimiento de Análisis

Para la integración, consideramos solo cuerpos simétricos que tengan superficies generadas por una curva revolverte con respecto a un eje.

Elemento tipo cascarón

Si un elemento del tipo cascarón de altura z , radio r=y y espesor dy es elegido para efectuar la integración, entonces el volumen es dv=(2πy)(z)dy

Este elemento puede ser usando en las ecuaciones , para calcular el momento de inercia Iz,con respecto al eje z.Ya que todo elemento, debido a su delgadez, se encuentra en la misma distancia perpendicular r=y y del eje z.

Elemento tipo Disco

Si un elemento tipo disco, con radio y y espesor dz, se elige para la integración, entonces el volumen es dv=(ry^2 )dz.

Este elemento es finito en la dirección radial y en consecuencia no todas sus partes se encuentran a la misma distancia radial r del eje z, como resultado las ecuaciones: , ,no pueden ser utilizadas para determinar el momento de inercia directamente .Para efectuar esta integración es necesario determinar primero el momento de inercia del elemento con respecto al eje z y luego integra este resultado.

Teorema de los ejes paralelos

Si el momento de inercia de un cuerpo alrededor de un eje que pasa por el centro de masa de un cuerpo es conocido, entonces el momento de inercia con respecto a cualquier otro eje paralelo puede ser determinado utilizando el teorema de los ejes paralelos.

Este teorema establece que el momento de inercia

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