Monografia algebra

Espacio vectoriales

 Un espacio vectorial es un conjunto no vacío de objetos, llamados vectores, en el que se han definido dos operaciones: la suma y el producto por un escalar sujetas a los diez axiomas que se dan a continuaciónϵ. Los axiomas deben ser válidos para todos los vectores u, v y w en V y todos los escalares α y β reales. En un espacio vectorial hay definidas dos operaciones:

-Producto por un escalar: a.ū que cumple con las siguientes propiedades:

        -1 . ū = ū;                                                Ɐ ū ϵ V

        -α . (β . ū) = (α . β) . ū;                                        Ɐ ū ϵ V, Ɐ α y β  ϵ |R

        -(α + β) . ū = α. Ū + β. Ū;                                Ɐ ū ϵ V, Ɐ α y β  ϵ |R

        - α . (ū + ō) = α . ū + α . ō;                                 Ɐ ū y ō ϵ V, Ɐ α ϵ |R

Y las dos leyes de cerradura:

        - Ɐ ū y ō ϵ V                                                ū + ō ϵ V

        - Ɐ α ϵ |R; Ɐ ū ϵ V                                        α . ū ϵ V

-Suma: ū + ō tiene las siguientes propiedades

        -Conmutativa: ū + ō = ō + ū                                Ɐ ū y ō ϵ V

        -Asociativa: (ū + ō) + ā = ū + (ō + ā)                        Ɐ ū ,ō y ā ϵ V

        -Elemento neutro: Ǝ Ō ϵ V tal que ū + Ō = ū                 Ɐ ū ϵ V

        -Elemento opuesto: Ɐ ū ϵ V Ǝ (– ū) tal que ū + (– ū) = 0

Propiedades de los espacios vectoriales

De los axiomas de los espacios vectoriales, pueden demostrarse las siguientes propiedades.

• 0ū = 0ō
• α0ū = 0ū
• (-α) ū = - ( α . ū)
• α ū = 0ō  →  α=0 y ū = 0ō

Subespacios vectoriales:

 Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V. W es un subespacio de V si W es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones (suma de vectores y producto por un escalar) definidas en V.

Condiciones necesarias y suficientes para caracterizar subespacios

 Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V (W ⊆ V). W es subespacio de V si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:

- 0 V está en W.

-Si ū y ō están en W, entonces ū + ō está en W.

-Si ū está en W y k es un escalar, k ū está en W.

Transformaciones lineales.

Una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su dominio y su codominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales V y W, y una función que va de V a W. O sea una regla de asignación que transforma vectores de V en vectores de W. Pero no toda función que transforme vectores de V en vectores de W es una transformación lineal. Debe cumplir ciertas condiciones:

 F: V→ W es una transformación lineal si y sólo si:

1. F (ū+ō) = F(ū) + F(ō)                 Ɐ ū y ō ϵ V.

2. F(k. ū) = k.F(ū)                 Ɐ ū ϵ V; Ɐ k ϵ |R.

T: |R2  → |R3                        T (x,y) =   ( x+2y; 3x – y; 4x)

T: |R3 → M2x2                        T (x,y,z)=     x+z        2y[pic 1][pic 2]

                                               x-2y            x+y

T: M2x2 → P2                        T      a     b       = ( a+2b+c) x2 + (a-d) x + c[pic 3][pic 4]

                                            c          d

...