Monte Carlo

Simulación

1 Introducción

La Simulación está dirigida muchos tipos de problemas, aunque los más habituales son los llamados

problemas de colas o fenómenos de espera que en general tratan sobre el tiempo de espera de ciertos

objetos, mientras que esperan a ser procesados dentro del sistema.

La simulación está basada en la aleatoriedad de procesos reales. Estudiaremos por tanto la forma de

generar algunas de las distribuciones más usuales. Aunque también la técnica Monte-Carlo puede servir

para abordar problemas tradicionalmente deterministas, reduciendo en ocasiones el costo computacional.

En los últimos temas introduciremos a grandes rasgos los modelos de eventos discretos más comunes y

profundizaremos en los aspectos prácticos de la simulación como son la verificación y validación de los

modelos.

2 Generación de Números Aleatorios

La simulación de cualquier sistema en el que se tengan en cuenta efectos no determinísticos necesita

disponer de una gran cantidad de números aleatorios, y en general, de sucesiones de realizaciones de

variables aleatorias.

Existen muchos métodos para generar una variable aleatoria con una determinada función de distribución a

partir de una sucesión de números aleatorios. Es conveniente, por tanto, encontrar métodos eficientes para

generarlos. En primer lugar tenemos que tener en cuenta que se entiende por sucesión de números

aleatorios. En teoría, es una sucesión de variables aleatorias independientes distribuidas uniformemente

dentro del intervalo [0, 1).

Para que una sucesión se considere aleatoria tienen que cumplirse una serie de requisitos como que una

persona que no conozca el método de generación no pueda determinar el siguiente término, o que la

sucesión supere una serie de contrastes estadísticos adecuados al uso que se va a hacer de ella.

2.1 Métodos mecánicos

La generación de números aleatorios de forma totalmente aleatoria, es muy sencilla con alguno de los

siguientes métodos:

1. Mediante una ruleta. Si estamos interesados en obtener números aleatorios discretos de una

cifra (0,1,2,. . .,9), se hace girar una ruleta numerando los sectores del 0 al 9 y posteriormente se

de1tiene anotándose el número de sector. La probabilidad de obtener cualquier número de la

secuencia anterior es 1/10.

Si en lugar de generar números aleatorios de una cifra, necesitamos generar números aleatorios

uniformes de k cifras, con valores de la variable aleatoria en el conjunto
    
, con

probabilidad 1/10
, no tenemos nada más que partir de una tabla de números aleatorios de una

cifra, y agruparlos de
en
; los números resultantes son aleatorios de
cifras.

La generación de números aleatorios de una variable aleatoria uniforme (0, 1) constituye el paso

siguiente, ya que esa distribución juega un papel fundamental en la generación de variables

aleatorias con otras distribuciones. Supongamos que estamos interesados en la generación de

números aleatorios con
cifras decimales y uniformes en el intervalo (0, 1). El primer paso será

generar números (), uniformes de
cifras para posteriormente, a través de una transformación  =

/10
, pasarlos al dominio (0, 1)

2. Mediante una moneda o un dado: Se lanza una moneda o un dado y se anota el resultado.

3. Uso de guías telefónicas: Coger la guía telefónica de una provincia, abrir una página al azar y

anotar de cada número de teléfono las cuatro últimas cifras.

4. Recurrir a tablas de números aleatorios. La utilización de tablas de números aleatorios tiene

lugar cuando se resuelven problemas de forma manual.

Obviamente, después de obtener una sucesión de números aleatorios resulta conveniente ver si se

comportan como tales, para ello se recurre a pruebas estadísticas.

2.2 Métodos de generación aritméticos

Los procedimientos de generación de números aleatorios más utilizados son de tipo aritmético y suelen ser

de tipo recursivo. Cada número aleatorio se obtiene en función del último número obtenido, o de un número

relativamente pequeño de los números obtenidos previamente. Si se considera el caso en el que cada

número depende exclusivamente del anterior, la fórmula de generación será





      



donde incialmente se ha indicado el valor de , que se denomina semilla.

Pero la generación de números aleatorios mediante la ecuación (1) no son aleatorios, ya que estamos

generando dichos números de forma determinista, mediante una regla aritmética. Este tipo de sucesiones

se denomina pseudoaleatoria. Se puede demostrar que la sucesión de números generados mediante la

fórmula (1) es necesariamente cíclica.

Método de los cuadrados medios

El primer método aritmético para generar números aleatorios fue propuesto por Von Neumann en 1946 y se

conoce como método de los cuadrados medios. Consiste en tomar un número  de 2n dígitos y elevarlo al

cuadrado. El resultado tendrá 4n dígitos (si no es así se completa con ceros a la izquierda). Los 2n dígitos

centrales de este producto se toman como el número aleatorio siguiente. Esto es, se eliminan los n dígitos

menos significativos y los n mas significativos (incluyendo ceros). El procedimiento se vuelve a repetir para

este nuevo número, y así sucesivamente.

Ejemplo Si tomamos  = 4879, el procedimiento sería el siguiente

 
 



  



  



  



Método congruencia lineal

Para un número natural positivo m, al que llamaremos módulo, se generan sucesiones de números

utilizando la fórmula de recurrencia:



º



 ³    



donde  (multiplicador), (incremento)  (valor inicial o semilla) son números naturales menores que m, se

dice en este caso que 

 es congruente con 



. La fórmula indica que 

y 

dan el

mismo resto al dividir por el número natural m; i.e., que 



es un múltiplo de m. La sucesión


³ proporciona, en consecuencia, números naturales entre 0 y m1. Para la elección de los parámetros

...