Métodos De Sustitución

MÉTODOS DE SUSTITUCIÓN

La siguiente expresión es una ecuación lineal (no tiene exponentes) con dos incógnitas, x e y: x+y=1.

Para encontrar la solución se necesita que esté asociada a otra ecuación que no sea equivalente, de modo que se obtenga un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, como por ejemplo:

x+y=12x−y=5}

Cuando una ecuación está asociada a otra que es su equivalente, como en el siguiente caso:

x+y=1

2x+2y=2

se tiene un sistema indeterminado, que no trataremos ahora.

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales existen tres métodos diferentes: el de sustitución, el de igualación y el de reducción. Aquí va el primero.

El método de sustitución consiste en despejar la x en una de las ecuaciones, básicamente en la que resulte más fácil, y sustituir la expresión resultante en la otra.

Ejemplo

En el siguiente caso, es fácil despejar x en la primera ecuación, puesto que no tiene ningún coeficiente:

x+y=2

−2x−3y=5

De modo que:

x=2−y

−2x−3y=5

Ahora se puede sustituir la x de la segunda ecuación por la expresión x=2−y. Y se obtiene:

x=2−y

−2(2−y)−3y=5

Con esto se consigue que la segunda ecuación se convierta en una ecuación lineal con una incógnita, que se resuelve despejando simplemente la y.

−2(2−y)−3y=5⇒−4+2y−3y=5⇒−y=5+4⇒−y=9⇒y=−9

Una vez hallado el valor de y, lo único que queda por hacer es sustituir en la primera ecuación para saber cuál es el valor de x:

x=2−y⇒x=2−(−9)⇒x=2+9=11

Los dos valores obtenidos, x=11, y=−9, son el resultado del sistema.

Para ver si el resultado es correcto se pueden sustituir los valores encontrados para ambas incógnitas y comprobar si se cumplen las igualdades de ambas ecuaciones:

x+y=2⇒11−9=2⇒2=2

En la primera ecuación se cumple. Se comprueba en la segunda:

−2x−3y=5⇒−2⋅11−3⋅ (−9)=5⇒−22+27=5⇒5=5

En la segunda ecuación también se cumple la igualdad, por lo que la solución es correcta.

Ejemplo

2x−4y=8

−3x+y=3

Se pueden seguir los mismos pasos que en el ejemplo anterior, pero antes hay que ver si las ecuaciones se pueden simplificar.

En el caso de la primera ecuación 2x−4y=8, todos los términos son divisibles por 2, de modo que toda la ecuación se puede dividir por dicha cifra para simplificarla. Al dividir entre 2 queda:

x−2y=4

Esta ecuación es totalmente equivalente a la otra, es decir, tiene la misma solución, y el despeje de x es casi inmediato, puesto que ha dejado de tener coeficiente.

Se sustituye esta nueva ecuación equivalente en lugar de la inicial y ya se puede empezar a buscar la solución al sistema:

x−2y=4

−3x+y=3

Primero se despeja x en la primera ecuación:

x=4+2y

−3x+y=3

Se sustituye la expresión obtenida en la segunda ecuación y se halla y:

−3(4+2y)+y=3⇒−12−6y+y=3⇒−5y=3+12⇒

⇒−5y=15⇒y=15−5=−3

Se sustituye el valor de y en la primera ecuación para saber cuál es el de x:

x=4+2(−3)⇒x=4−6=−2

La solución al sistema es x=−2, y=−3.

Se comprueba que todo es correcto sustituyendo en ambas ecuaciones los valores obtenidos:

x−2y=4⇒−2−2(−3)=4⇒−2+6=4⇒4=4

−3x+y=3⇒−3(−2)+(−3)=3⇒6−3=3⇒3=3

En ambas ecuaciones se cumplen las igualdades, así que el resultado es válido.

Ejemplo

x+1−y=−2

y+1=x−4

Lo primero que hay que hacer es agrupar términos similares, dejando las incógnitas en el primer miembro y los términos independientes en el segundo:

├ █(x-y=-2-1@-x+y=-4-1)}⇒├

...