Notas sobre limites y continuidad

Estos dos conceptos se usan generalmente como una introducción al cálculo, así que intentaré dar una buena explicación intuitiva de qué son estos conceptos y cómo se usan como una introducción al cálculo.

Un límite es un concepto difícil de dar una definición super clara, así que daré algunos ejemplos. Cuando toma un límite de una función, toma el límite cuando se aproxima a un determinado punto o valor. El límite cuando se acerca a ese valor es simplemente el valor de la función cerca de ese valor. Por lo tanto, puede tomar el límite de f (x) = x cuando x se acerca a 1, y su límite sería simplemente 1, ya que esencialmente solo está conectando 1 en la función f (x) = x. Sin embargo, no necesitaríamos límites si solo estuviéramos evaluando una función en un punto determinado, de modo que aquí es donde los límites se vuelven útiles: evaluar qué función sería cuando nos acercamos a un valor x que no está definido por la función. El infinito es un buen ejemplo. No es un número, así que no podemos conectarlo a nuestra función, pero tomar el límite de una función a medida que x (o lo que sea la variable independiente) se acerca al infinito es aproximadamente equivalente a "conectar" el infinito. Claramente, el límite de f (x) = x a medida que x se acerca al infinito es solo infinito, y usted podría llegar a esa conclusión al "conectar" el infinito, pero el proceso de tomar límites es a menudo un poco más complejo que eso. El punto principal es que los límites son una forma de encontrar qué función DEBERÍA estar en un punto determinado SI esa función se definió en ese punto. Pero una cosa clave a recordar es que los límites no solo escupen valores finitos de funciones en puntos no definidos. Te dicen a qué se acerca la función a medida que te acercas infinitamente a ese valor. y podría llegar a esa conclusión "conectando" el infinito, pero el proceso de tomar límites es a menudo un poco más complejo que eso. El punto principal es que los límites son una forma de encontrar qué función DEBERÍA estar en un punto determinado SI esa función se definió en ese punto. Pero una cosa clave a recordar es que los límites no solo escupen valores finitos de funciones en puntos no definidos. Te dicen a qué se acerca la función a medida que te acercas infinitamente a ese valor. y podría llegar a esa conclusión "conectando" el infinito, pero el proceso de tomar límites es a menudo un poco más complejo que eso. El punto principal es que los límites son una forma de encontrar qué función DEBERÍA estar en un punto determinado SI esa función se definió en ese punto. Pero una cosa clave a recordar es que los límites no solo escupen valores finitos de funciones en puntos no definidos. Te dicen a qué se acerca la función a medida que te acercas infinitamente a ese valor.

Ahora es un buen momento para hablar de continuidad. Se dice que una función es continua si, en cualquier punto, un cambio arbitrario en la entrada produce un cambio arbitrariamente pequeño en la salida. Esto es un poco confuso, por lo que la mejor manera de pensarlo es como una función que no tiene interrupciones, una que podría dibujar sin quitar el lápiz del papel. Desafortunadamente, esta definición simplista es un tanto engañosa: las funciones que tienen interrupciones en ellas pueden seguir siendo continuas, TANTO COMO sus discontinuidades no están en su dominio. Tomemos la función f (x) = 1 / x. En x = 0, esta función no está definida. Sin embargo, si escribimos la función como f (x) = 1 / x, donde x = 0 no se incluye en el dominio, la función es continua, porque la definición de continuidad solo se aplica a los valores en el dominio de la función.

Entonces, ahora unamos estos conceptos. Los límites y la continuidad van de la mano, porque acercarse infinitamente a un valor en una función puede ayudar a determinar si esa función es continua. Si, cuando nos acercamos infinitamente, esa función no cambia significativamente en ningún momento mientras nos acercamos más y más, podemos considerar que esa función es continua.

Pero tal vez la forma más grande en que estos conceptos se combinan es cuando se trata de la diferenciación, o el proceso de encontrar la derivada de una función. La derivada de una función es su tasa de cambio en un cierto punto. Muchas veces, la derivada de una función será otra función, porque la tasa de cambio de la función original cambia con diferentes valores de x. Dado que la definición de un derivado es aproximadamente la tasa de cambio en un punto, necesitamos encontrar una manera de calcular esto. Si quisiera la tasa de cambio de una función en un intervalo, dividiría el cambio en y por el cambio en x, y esa sería su tasa de cambio en el intervalo. Pero extender esto a un punto es más complicado y requiere límites. Dado que un solo punto tiene esencialmente un intervalo que es distinto de cero, pero infinitamente pequeño, podemos usar límites. No le mostraré los cálculos matemáticos, ya que solo trato de proporcionar una explicación intuitiva, pero busque la definición formal de un derivado y podrá comprender qué significa esto matemáticamente. La idea básica es que reducimos el intervalo a infinitamente pequeño, utilizando límites (piense en el límite a medida que el intervalo se acerca a cero), ¡y eso nos da la tasa de cambio en un punto! Ahora, para lanzar continuidad allí, para poder tomar la derivada de una función, esa función debe ser continua. Esto tiene un sentido lógico, ya que si queremos acercarnos infinitamente a cierto valor (reducir el "intervalo" a cero), también queremos asegurarnos de que la función se comporte de manera predecible a medida que nos acercamos más y más a cualquier punto. ya que de lo contrario tendremos valores para los cuales no se define la derivada de la función. ya que solo estoy tratando de proporcionar una explicación intuitiva, pero busque la definición formal de un derivado y podrá comprender lo que esto significa matemáticamente. La idea básica es que reducimos el intervalo a infinitamente pequeño, utilizando límites (piense en el límite a medida que el intervalo se acerca a cero), ¡y eso nos da la tasa de cambio en un punto! Ahora, para lanzar continuidad allí, para poder tomar la derivada de una función, esa función debe ser continua. Esto tiene un sentido lógico, ya que si queremos acercarnos infinitamente a cierto valor (reducir el "intervalo" a cero), también queremos asegurarnos de que la función se comporte de manera predecible a medida que nos acercamos más y más a cualquier punto. ya que de lo contrario tendremos valores para los cuales no se define la derivada de la función. ya que solo estoy tratando de proporcionar una explicación intuitiva, pero busque la definición formal de un derivado y podrá comprender lo que esto significa matemáticamente. La idea básica es que reducimos el intervalo a infinitamente pequeño, utilizando límites (piense en el límite a medida que el intervalo se acerca a cero), ¡y eso nos da la tasa de cambio en un punto! Ahora, para lanzar continuidad allí, para poder tomar la derivada de una función, esa función debe ser continua. Esto tiene un sentido lógico, ya que si queremos acercarnos infinitamente a cierto valor (reducir el "intervalo" a cero), también queremos asegurarnos de que la función se comporte de manera predecible a medida que nos acercamos más y más a cualquier punto. ya que de lo contrario tendremos valores para los cuales no se define la derivada de la función. pero busque la definición formal de un derivado y podrá comprender lo que esto significa matemáticamente. La idea básica es que reducimos el intervalo a infinitamente pequeño, utilizando límites (piense en el límite a medida que el intervalo se acerca a cero), ¡y eso nos da la tasa de cambio en un punto! Ahora, para lanzar continuidad allí, para poder tomar la derivada de una función, esa función debe ser continua. 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Esto tiene un sentido lógico, ya que si queremos acercarnos infinitamente a cierto valor (reducir el "intervalo" a cero), también queremos asegurarnos de que la función se comporte de manera predecible a medida que nos acercamos más y más a cualquier punto. ya que de lo contrario tendremos valores para los cuales no se define la derivada de la función.

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