Número Reales

LOSNU ́MEROSREALES1

El conjunto de nu ́meros reales

S ́ımbolo

Nombre

Descripci ́on

Ejemplos

N Nu ́meros naturales Z Enteros

Q Nu ́meros racionales

I Nu ́meros irracionales

R Nu ́meros reales

Nu ́mero para contar (tambi ́en llamados enteros positivos)

Nu ́meros naturales, sus negativos, y 0.

Nu ́meros que se pueden representar como a/b donde a y b son enteros y b̸= 0; las representaciones decimales son infinitas peri ́odicas o bien terminan.

Nu ́meros cuya expansi ́on decimal es infinita y no peri ́odica.

Nu ́meros racionales e irracionales.

1, 2, 3, ....

..., −2, −1, 0, 1, 2, 3, ....

−4, 0, 1, 25, − 3 , 2 , 53

3.67, −0333, 5.23427

√2, π, √3 7

1.414213, ...

e (2.71828182...)

Propiedades de campo del conjunto de nu ́meros reales.

Sea R el conjunto de nu ́meros reales, y sea x, y y z elementos arbitrarios de R. Propiedades de la suma.

Cerradura: x + y es un elemento u ́nico en R

Asociativa: (x + y) + z = x + (y + z)

Conmutativa: x+y=y+x

Identidad: 0 es la identidad aditiva; es decir, 0 + x = x + 0 = x para toda x en R, y 0 es el u ́nico elemento en R que tiene esta propiedad.

Inversa: Para cada x en R, −x es el u ́nico inverso aditivo; es decir,

x + (−x) = (−x) + x = 0, y −x es el u ́nico elemento en R respecto a x, con esta propiedad.

1Elabor ́o: Adriana Caballero Rosas.

1

Propiedades de la multiplicacio ́n.

Cerradura: Asociativa: Conmutativa: Identidad:

Inversa:

xy es un elemento u ́nico en R

(xy)z = x(yz)

xy = yx

1 es la identidad multiplicativa; es decir, para cada x en R (1)x = x(1) = x, y 1 es es el u ́nico elemento en R que tiene esta propiedad.

Para cada x en R, x ̸= 0, 1/x es el u ́nico inverso multiplicativo; es decir, x(1/x) = (1/x)x = 1, y 1/x es el u ́nico elemento en R respecto a x, que tiene esta propiedad.

Propiedad combinada.

Distributiva: x(y + z) = xy + xz (x + y)z = xz + yz

La recta real.

Se suelen representar los nu ́meros reales sobre una recta que llamamos la recta real, con centro en 0 y que se extiende sin tope en ambas direcciones, positiva (derecha) y negativa (izquierda).

Conjuntos e intervalos.

Un conjunto2 es una colecci ́on de objetos, conocidos como los elementos del conjunto. Si S es un conjunto, la notaci ́on a ∈ S significa que a es un elemento de S, y b ∈/ S significa que b no es un elemento de S.

Algunos conjuntos se pueden describir listando sus

...