Numeros Reales

NÚMEROS REALES

SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES

El sistema de los números reales es un conjunto R con dos operaciones: suma (+) y multiplicación (.), y una relación de orden "<" que se lee “menor que” y que se satisface el siguiente conjunto de axiomas de los números reales:

1.- a+b∈R,∀a,b∈R (Ley de clausura)

2.- a+b=b+a,∀a,b∈R (Ley conmutativa)

3.- (a+b)+c=a+(b+c),∀a,b,c∈R (Ley asociativa)

4.- ∃!0∈R tal que a+0=0+a=a,∀a∈R(0 neutroaditivo)

5.-∃!-a∈ R,talquea+(-a)=-a+a=0; ∀a∈R(-a inverso aditivo)

6.- a.b∈ R,∀a,b∈R (Ley de clausura)

7.- a.b=b.a,∀a,b∈R (Ley conmutativa)

8.- (a.b).c=a.(b.c),∀a,b,c∈R (Ley asociativa)

9.- ∃!1∈R tal que a.1=a=1.a,∀a∈R (1 neutro multiplicativo)

10.- ∃!a^(-1)∈ R,tal que a.a^(-1)=a^(-1).a=1; ∀a∈R,a≠0 (a^(-1) inv.multiplicati)

11.- a(b+c)=a.b+a.c, ∀a,b,c∈ R (Ley distributiva)

12.- (a+b).c=a.c+b.c,∀a,b,c∈ R (Ley distributiva)

13.- Dados a,b∈ R, entonces una y solamente una de las siguientesrelaciones se cumplen:

a<b,a=b ó a>b

14.- Si a<b y b<c entonces a<c (Ley transitiva)

15.- Si a<b entonces a+c<b+c,∀c∈ R

16.- Si a<b y c>0 entonces a.c<b.c

17.- Axioma del supremo (Axioma de la menor cota superior)

Todo conjunto de números reales A≠∅ (no vacio), acotado superiormente, tiene una menor cota superior, llamada también supremo de A.

Axiomas de la relación de igualdad de los números reales

1.- a=a,∀a∈R Propiedad reflexiva

2.- Si a=b entonces b=a Propiedad simétrica

3.- Si a=b y b=c entonces a=c Propiedad transitiva

4.- En cualquier proposición concerniente (Principio de sustitución)

a los números reales, todo número real puede ser reemplazado por su igual sin alterar el valor veritativo de tal proposición.

Propiedades de los números reales

1.- Principio de sustitución de la adición de los números reales

Si a=b y c=d entonces a+c=b+d

2.- Principio de sustitución de la multiplicación en R

Si a=b y c=d entonces a.c=b.d

3.- Corolario.- ∀c∈ R

a) Si a=b entonces a+c=b+c

b) Si a=b entonces a.c=b.c

Teorema.- Sean a,b∈R, entonces a.b=0 ⇔ [a=0 ∨ b=0]

Definición.- (Sustracción) ∀a,b∈ R se define

a-b=a+(-b)

Definición.- (División) ∀a,b∈ R, con b≠0

a/b=a.b^(-1)

Valor absoluto

Definición.- Se llama valor absoluto de un número real x al número no negativo denotado por |x| y definido por:

|x|={█(x ,si x>0@0 ,si x=0@-x ,si x<0)┤

Teorema.- 1) ∀x∈R: |x|≥0

2)|x|=0 ↔x=0

Definición.- Si x∈R, entonces |x| es el número real no negativo definido por: |x|={█(x , x≥0@-x , x<0)┤

Teorema.- ∀x∈R,y∈R:

|-x|=|x|

|xy|=|x||y|

Teorema.- ∀x∈R:

a)|x|^2=x^2

b)|x^2 |=x^2

Teorema.- ∀x∈R: √(x^2 )=|x|

Teorema de la desigualdad triangular.- ∀x,y∈R,|x+y|=|x|+|y|

Corolario.- ∀x,y∈R,|x-y|≥|(|x|-|y|)|

Ecuaciones con valor absoluto.-

Teorema.- |x|=b⟺{█((b≥0)@y [x=b o x=-b])┤

Teorema.- Dados a,b∈R: |a|=|b|⟺[a=b o a=-b]

Inecuaciones con valor absoluto

Teorema.- Sean x,a∈R, entonces

|x|≤a⟺[(a≥0)y (-a≤x≤a)]

|x|≥a⟺[(x≥a) o (x≤-a)]

Máximo entero

Definición.- Dado un número real x, se llama el máximo entero de x al número entero denotado por ⟦x⟧y que es el mayor de todos los enteros que son menores o iguales al número real x.

⟦x⟧=max{entero n∈Z tal que n≤x}

Propiedad fundamental del máximo entero

Sea x∈R, arbitrario, y sea n∈Z, entonces

⟦x⟧=n⟺n≤x<n+1, n∈Z

Propiedades del máximo entero:

1)El máximo entero ⟦x⟧ siempre es un número entero tal que:

⟦x⟧=n⟺n∈[n,n+1>, n∈Z

∀x∈R:⟦x⟧≤x<⟦x⟧+1

∀x∈R: 0≤x-⟦x⟧<1

⟦x⟧=x⟺x∈Z

⟦⟦x⟧⟧=⟦x⟧,∀x∈R

Teorema.- Sea x∈R, ∀n∈Z:⟦x+n⟧=⟦x⟧

Cota superior e inferior de un conjunto

Definición.- Sea A un subconjunto no vacío de R

1)Se dice que A es acotado superiormente si∃ k_1∈R / a≤k_1,∀a∈A.

k_1es llamado cota superior de A.

2)Se

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