ORBITAS ESTACIONARIAS

I. MARCO TEORICO

a) LEYES DE KEPLER

Estas leyes han tenido un significado especial en el estudio de los astros, ya que permitieron describir su movimiento; fueron deducidas empíricamente por Johannes Kepler (1571-1630) a partir del estudio del movimiento de los planetas, para lo cual se sirvió de las precisas observaciones realizadas por Tycho Brahe (1546-1601). Sólo tiempo después, ya con el aporte de Isaac Newton (1642-1727), fue posible advertir que estas leyes son una consecuencia de la llamada Ley de Gravitación Universal.

La primera ley puede enunciarse de la siguiente manera:

“Los planetas en su desplazamiento alrededor del Sol describen elipses, con el sol ubicado en uno de sus focos.”

Debe tenerse en cuenta que las elipses planetarias son muy poco excéntricas (es decir, la figura se aparta poco de la circunferencia) y la diferencia entre las posiciones extremas de un planeta son mínimas (a la máxima distancia de un planeta al Sol se denomina afelio y la mínima perihelio).La Tierra, por ejemplo, en su mínima distancia al Sol se halla a 147 millones de km, mientras que en su máxima lejanía no supera los 152 millones de km.

Los planetas se mueven en órbitas elípticas que tienen al Sol en uno de sus focos.

Definición de elipse

Conjunto de puntos del plano que cumplen la condición:

l1+ l2 = constante.

La segunda ley, puede expresarse como:

Las áreas barridas por el segmento que une al Sol con el planeta (radio vector) son proporcionales a los tiempos empleados para describirlas.

Esta ley implica que el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales; esto indica que la velocidad orbital es variable a lo largo de la trayectoria del astro siendo máxima en el perihelio y mínima en el afelio (la velocidad del astro sería constante si la órbita fuera un círculo perfecto). Por ejemplo, la Tierra viaja a 30,75 km/seg en el perihelio y "rebaja" a 28,76 en el afelio.

“La línea que une al sol con los planetas barre áreas iguales en tiempos iguales.”

Las regiones coloreadas de anaranjado y verde (de igual área) son barridas en tiempos iguales. En el mismo tiempo, en la región verde, el planeta debe recorrer un arco de elipse de mayor longitud.

La tercera ley, finalmente, puede expresarse como:

“El cuadrado del período de revolución de cada planeta es proporcional al cubo de la distancia media del planeta al Sol.”

Esta ley permite deducir que los planetas más lejanos al Sol orbitan a menor velocidad que los cercanos; dice que el período de revolución depende de la distancia al Sol.

Pero esto sólo es válido si la masa de cada uno de los planetas es despreciable en comparación al Sol. Si se quisiera calcular el período de revolución de astros de otro sistema planetario, se debería aplicar otra expresión comúnmente denominada tercera ley de Kepler generalizada.

Esta ley generalizada tiene en cuenta la masa del planeta y extiende la tercera ley clásica a los sistemas planetarios con una estrella central de masa diferente a la del Sol.

“El cuadrado del período del planeta es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita.”

El tiempo que el planeta tarda en realizar una órbita completa (período,T) es proporcional a la medida del semieje mayor, R, elevada al exponente 3/2.

Tercera Ley de Kepler

T en años, a en unidades astronómicas; T2 = a3

Las discrepancias son debidas a la limitada precisión

Planeta Período T Dist. a del Sol T2 a3

Mercurio 0.241 0.387 0.05808 0.05796

Venus 0.616 0.723 0.37946 0.37793

Tierra 1 1 1 1

Marte 1.88 1.524 3.5344 3.5396

Júpiter 11.9 5.203 141.61 140.85

Saturno 29.5 9.539 870.25 867.98

Urano 84.0 19.191 7056 7068

Neptuno 165.0 30.071 27225 27192

Plutón 248.0 39.457 61504 61429

1 AU = 150 000 000 km.

b) METODO NUMERICO DE EULER

La idea del método de Euler es muy sencilla y está basada en el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado.

Supongamos que tuviéramos la curva solución de la ecuación diferencial y trazamos la recta tangente a la curva en el punto dado por la condición inicial.

Debido a que la recta tangente aproxima a la curva en valores cercanos al punto de tangencia, podemos tomar el valor de la recta tangente en el punto como una aproximación al valor deseado .

Así, calculemos la ecuación de la recta tangente a la curva solución de la ecuación diferencial dada en el punto . De los cursos de Geometría Analítica, sabemos que la ecuación de la recta es:

donde m es la pendiente. En este caso, sabemos que la pendiente de la recta tangente se calcula con la derivada:

Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es :

Ahora bien, suponemos que es un punto cercano a , y por lo tanto estará dado como . De esta forma, tenemos la siguiente aproximación:

De aquí, tenemos nuestra fórmula de aproximación:

Esta aproximación puede ser suficientemente buena, si el valor de h es realmente pequeño, digamos de una décima ó menos. Pero si el valor de h es más grande, entonces podemos cometer mucho error al aplicar dicha fórmula. Una forma de reducir el error y obtener de hecho un método iterativo, es dividir la distancia en n partes iguales (procurando que estas partes sean de longitud suficientemente pequeña) y obtener entonces la aproximación en n pasos, aplicando la fórmula anterior n veces de un paso a otro, con la nueva h igual a .

En una gráfica, tenemos lo siguiente:

Ahora bien, sabemos que:

Para obtener únicamente hay que pensar que ahora el papel de lo toma el punto , y por lo tanto, si sustituimos los datos adecuadamente, obtendremos que:

De aquí se ve claramente que la fórmula recursiva general, está dada por:

Esta es la conocida fórmula de Euler que se usa para aproximar el valor de aplicándola sucesivamente

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