PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA

PRACTICA Nº 1

PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA

OBJETIVO

Comprobar la relación de proporcionalidad entre diferentes magnitudes.

MARCO TEÒRICO

La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los

escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto

se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy común. La

proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El

factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar la relación

entre cantidades.

En la proporcionalidad directa, dos magnitudes X y Y, se dicen que son

“directamente proporcionales entre sí”, o que están a razón directa, si al

aumentar (o disminuir) la magnitud de una de ellas, aumenta (o disminuye

proporcionalmente la magnitud de la otra. La relación de proporcionalidad

directa entre dos variables x y y se define matemáticamente por la ecuación:

K =

En el mundo real se producen con frecuencia situaciones en las que se

relacionan dos variables de manera que su producto siempre permanece

constante. Así sucede, por ejemplo, cuando se pretende determinar el caudal

de un grifo necesario para llenar un depósito en un cierto tiempo: al aumentar

el caudal, se reduce el tiempo, y a la inversa. Estas relaciones se conocen

genéricamente con el nombre de funciones de proporcionalidad inversa.

Se denomina relación de proporcionalidad inversa a la que se establece entre

una variable independiente x y una variable dependiente y, de tal forma que el

producto de ambas es siempre igual a una constante k. Es decir:

x * y = k.

Esta relación puede expresarse a modo de una función real de variable real,

llamada función de proporcionalidad inversa, que se escribiría genéricamente

del modo siguiente:

En el laboratorio, se pretende encontrar la constante de proporcionalidad en un

líquido.

MATERIALES:

 Una probeta graduada de 100 ml

 Un vaso plástico

 Balanza

 Agua

 Papel milimetrado.

PROCEDIMIENTO:

Para llevar a cabo el laboratorio, procedimos a calibrar la balanza electrónica,

llevándola a cero con el fin de medir la masa de un líquido específico (agua).

Se determinó la masa de la probeta y se registró como mo= 108,1 g.

Posteriormente, tomamos mediciones de la masa del agua a partir de un

volumen de 10 ml, 20 ml, 30 ml, hasta llegar a 100 ml. y los datos se

consignaron en la tabla 1 y se realizó una gráfica masa vs. Volumen.

RESULTADOS

Tabla 1.

V(ml) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Ml(g) 117.4 127.3 137.2 147.5 157 159.2 176.9 186.1 196.5 206

Ml

(g)

9.39 19.2 29.1 39.4 48.9 59.1 68.8 78.0 88.4 97.9

Grafica 1.

0

20

40

60

80

100

120

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

ML (g)

ML (g)

Para calcular la constante de proporcionalidad entre la masa y volumen fue

necesario calcular la pendiente de la recta a través de dos puntos en X y dos

puntos Y de la siguiente forma:

m

m

= 0,95

DISCUSION DE RESULTADOS

Como se puede observar, estamos frente una relación proporcional directa, ya

que al aumentar el volumen del líquido (variable independiente), la masa o

variable dependiente, también aumentó con una constante de proporción de

0,95, es decir, a mayor volumen, mayor masa.

En la naturaleza existen ciertas leyes en las cuales la relación entre las

magnitudes es de proporcionalidad directa. Es el caso de la Ley de Charles y

Gay-Lussac, también llamada ley de los gases ideales, que relaciona el

volumen y la temperatura de una cierta cantidad de gas ideal, mantenido a una

presión constante, mediante una constante de proporcionalidad directa.

En esta ley, Charles dice que a una presión constante, al aumentar la

temperatura, el volumen del gas aumenta y al disminuir la temperatura el

volumen del gas disminuye. Esto se debe a que "temperatura" significa

movimiento de las partículas. Así que, a mayor movimiento de las partículas

(temperatura), mayor volumen del gas.

La ley fue publicada primero por Louis Joseph Gay-Lussac en 1802, pero hacía

referencia al trabajo no publicado de Jacques Charles, de alrededor de 1787, lo

que condujo a que la ley sea usualmente atribuida a Charles. La relación había

sido anticipada anteriormente en los trabajos de Guillaume Amontons en 1702.

Por otro lado, Gay Lussac relacionó la presion y la temperatura como unidades

directamente proporcionales y es llamada "La segunda ley de Gay-Lussac"

Otro ejemplo de leyes de proporcionalidad directa es la ley de elasticidad de

Hooke o ley de Hooke, originalmente formulada para casos de estiramiento

longitudinal, establece que el alargamiento unitario ε de un material elástico es

directamente proporcional a la fuerza aplicada F:

Donde δ: alargamiento longitudinal, L: Longitud original, E: módulo de Young o

módulo de elasticidad, A: sección transversal de la pieza estirada. La ley se

aplica a materiales elásticos hasta un límite denominado límite de elasticidad.

La Segunda Ley de Newton se puede resumir como sigue: La aceleración de

un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él, e

inversamente proporcional a su masa. La dirección de la aceleracion es la

misma de la fuerza aplicada.

a representa la aceleración, m la masa y F la fuerza neta. Por fuerza neta se

entiende la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.

La Ley de Ohm, es un ejemplo de proporción tanto directa como inversa ya

que establece que "La intensidad de la corriente eléctrica que circula por un

conductor eléctrico es directamente proporcional a la diferencia de potencial

aplicada e inversamente proporcional a la resistencia del mismo", se puede

expresar matemáticamente en la siguiente ecuación:

donde, empleando unidades del Sistema internacional, tenemos que:

 I = Intensidad en amperios (A)

 V = Diferencia de potencial en voltios (V)

 R = Resistencia en ohmios (Ω).

Esta ley no se cumple, por ejemplo, cuando la resistencia del conductor varía

con la temperatura,

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