PROYECTO: PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LAS ED´s DE 1er ORDEN

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE NUEVO LEON[pic 1][pic 2]

FACULTAD DE CIENCIAS FISICO MATEMATICAS

PROYECTO: PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LAS ED´s DE 1erORDEN

Ecuaciones diferenciales

Equipo:

Citlaly Betzabe Guerra Morales 1850578

Katia Joselin Cordova Romo 1948519

DECAIMIENTO DE UN MATERIAL RADIOACTIVO

Núcleo atómico:

• Protones: determinan el tipo de elementos
• Neutrones: pueden variar

Isotopos:

• Carbono 12:  6 protones y 6 neutrones
• Carbono 13:  6 protones y 7 neutrones
• Carbono 14:  6 protones y 8 neutrones

Isotopos inestables:

Carbono 14         Nitrógeno 14 [pic 3]

Después de cierto tiempo los átomos radioactivos de un material decaen con el paso de tiempo y se convierte en otro material a esto es a lo que se le conoce como descomposición radiactiva.

• Se ha observado que un porcentaje constante de los átomos radiactivos de un material decaen en cada unidad de tiemplo.

Ejemplo:

100mg de carbono 14 al pasar 5730 años quedaran 50mg de carbono 14 si vuelven a pasar 5730 años quedaran 25mg de carbono 14

OBTENER EL MODELO

Podemos pensar en que esto es como si fuera una población de átomos, con una tasa constante de mortalidad sin nacimientos.

Por lo que:

       En donde K es una constante y P es la población[pic 4]

Pero K es la diferencia entre la tasa de natalidad y mortalidad por lo que se puede escribir:

[pic 5]

Pero como no hay nacimientos la tasa de natalidad es 0, entonces:

[pic 6]

Ahora definimos M(t): Masa de elemento radiactivo, entonces:

[pic 7]

[pic 8]

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[pic 10]

[pic 11]

Definimos M(t) como masa inicial  [pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

Vida media: es el tiempo necesario para que se desintegre la mitad de los átomos de una muestra.

Definimos vida media = T, en años.

[pic 16]

Pero por definición “T” es el tiempo necesario para que se desintegre la mitad de la muestra inicial, por lo que:

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

Usando las propiedades de logaritmo podemos decir que:

[pic 21]

Pero ln 1 es igual a 0

[pic 22]

[pic 23]

Ahora que obtuvimos k, sustituimos:[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

MODELO PARA UTILIZAR SIEMPRE QUE CONOZCAMOS LA VIDA MEDIA DE UN ELEMENTO

EJEMPLO:
Si la cantidad de carbono 14 contenido en un cráneo antiguo es de ¼ de carbono 14 que tenía al momento de morir ¿qué edad tiene el cráneo?

Vida media del carbono =5730 años

 = cantidad inicial de carbono 14[pic 28]

 [pic 29]

 [pic 30]

Sustituimos M(t) en la ecuación:

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

Aplicando propiedades de logaritmo, podemos escribir que:

[pic 34]

Como ln1 es igual a 0

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Sustituimos el valor de “T” que es la vida media del Carbono 14

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[pic 39]

T=11,460 años[pic 40]

LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON

La ley del enfriamiento de Newton o enfriamiento newtoniano establece que la tasa de pérdida de calor de un cuerpo es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y sus alrededores de newton.

Cuando la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio ambiente no es demasiado grande, el calor transferido en la unidad de tiempo hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducción, convección y radiación es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio externo.

• La razón de cambio de temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia de su temperatura y la del ambiente.

[pic 41]

                         T= 0min🡪80°C

                          T=10min🡪40°C

                         T=20min🡪27°C

                          T=30min🡪22°C

Entre más grande sea la diferencia entre la temperatura del café con la temperatura ambiente va a bajar más rápido la temperatura del café pero si no hay mucha diferencia entre la temperatura del café con la del medio ambiente va a disminuir menos.

Definimos

Temperatura = T(t)

Temperatura ambiente =    [pic 42]

[pic 43]

Ecuación diferencial

[pic 44]

En donde k es una constante de proporcionalidad ya que la temperatura del café es proporcional a la temperatura ambiente.

Ahora para poder resolver la ecuación diferencial podemos quitar la dependencia de t.

🡪ecuación separable[pic 45]

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[pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

[pic 52]

Como es una constante la podemos escribir como:[pic 53]

[pic 54]

Despejamos “T”

[pic 55]

Volvemos a la dependencia[pic 56][pic 57][pic 58]

[pic 59]

[pic 60][pic 61]

          MODELO

Ahora aplicamos el modelo en el ejemplo anteriormente dado de la taza de café en donde teníamos que:

...