Parcial 1 Geometria vectorial
Enviado por Camilo Velez Palacio • 18 de Agosto de 2018 • Examen • 1.848 Palabras (8 Páginas) • 761 Visitas
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA
UDE@
Servicios a la Facultad de Ingeniería
Instituto de Matemáticas
Geometría Vectorial y Analítica-IDM-120
Parcial 1
NOTA:
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Profesor:
Grupo:
Documento:
Fecha: Abril 13 de 2013
Nota: El examen consta de 5 numerales para ser resueltos en un tiempo mínimo de 2 horas.
Los procedimientos empleados para llegar a cada respuesta deben ser justificados y quedar
registrados en el examen.
1. (20 %) Dadas las afirmaciones siguientes, indique si es Verdadera o Falasa. Justifique su
respuesta para las afirmaciones falsas.
a) (V) Toda matriz escalar es triangular superior.
b) (F) Toda matriz diagonal es escalar.
Ejemplo. La matriz A es diagonal, pero no es escalar por que los elementos de la diagonal
principal no son iguales.
3 0
0
A = 0 −1 0
0 0 −8
c) (V) Toda matriz escalar es diagonal.
d ) (F) Toda matriz nula es cuadrada.
Ejemplo. La matriz nula tiene cada una de sus componentes cero, pero no necesariamente
es cuadrada, por ejemplo
0 0 0 0
O2×4 =
0 0 0 0
e) (F) Toda matriz con unos en la diagonal principal y ceros en los restates elementos es una
matriz I
Ejemplo. Es necesario especificar que la matriz es cuadrada, ya que la siguiENTE matriz
tiene unos en la diagonal principal y ceros en las demás componentes, pero no es una
matriz cuadrada.
1 0 0 0 0
A= 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
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f ) (F) Toda matriz nula es escalar.
Ejemplo. No necesariamente, ya que requiere que sea cuadrada para que sea escalar. De
nuevo sirve la matriz
0 0 0 0
O2×4 =
0 0 0 0
g) (V) Toda matriz identidad es escalar.
h) (F) El producto matricial nunca es conmutativo.
Ejemplo. En general la conmutatividad no se cumple para la multiplicación, salvo cuando
es la matriz identidad o la matriz nula una de las dos matrices, así
−2 3
1 0
−2 3
=
y
4 5
0 1
4 5
1 0
−2 3
−2 3
=
0 1
4 5
4 5
i ) (F) Si el producto matricial de dos matrices es una matriz cuadrada, entonces necesariamente los factores son matrices cuadradas.
Ejemplo. No necesariamente, ya que si A es de orden 2 × 3 y B es de orden 3 × 2 entonces
AB está definido y es de orden 2 × 2, como el siguiente caso
2
1
−2 1 −4
−4
+
0
+
16
−2
−
3
−
16
12
−21
0 −3 =
=
0 5 3
0 + 0 − 12 0 − 15 + 12
−12 −3
−4
4
|
{z
}
|
{z
}
A
B
j ) (V) En una matriz simétrica los elementos de la diagonal principal pueden ser iguales a
cero.
2. (15 %) Determinar el valor de K para que el S.E.L. tenga
a) (5 %) Ninguna solución.
b) (5 %) Solución única.
c) (5 %) Infinitas soluciones.
Kx1 + x2 − x3 =0
x1 + 3x2 + x3 =0
3x1 + 10x2 + 4x3 =0
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Solución. Para el sistema de ecuaciones dado, que se escribe matricialmente como AX = B
K 1 −1
x1
0
1 3 1 x2 = 0
3 10 4
x3
0
|
{z
} | {z } | {z }
A
X
B
Es decir, el sistema es homogéneo ya que está igualado a la matriz nula de orden 3 × 1. Se
escribe la matriz aumentada de la forma [A|B] y se escalona para tener
K 1 −1 0
1 3 1 0
1 3 1 0
E12
E23
1 3 1 0 −→
K 1 −1 0 −→
3 10 4 0
3 10 4 0
3 10 4 0
K 1 −1 0
1
3
1
0
1 3
1
0
−(1−3K)E2 +E3
−3E1 +E2
0 1
1
1
0
1
0
−→ 0
−→
−KE1 +E3
0 1 − 3K −1 − K 0
0 0 −2 + 2K 0
Ahora, para que el sistema tenga infinitas soluciones, es necesario que la última fila en la matriz
escalonada reducida sea de ceros, por lo que −2 + 2K = 0, al despejar el valor de K se sigue
que K = 1. Para que el sistema tenga única solución, debe ser que −2 + 2K 6= 0, es decir, para
cualquier valor K 6= 1, el sistema tiene una única solución. Para que no tenga una solución se
debe presentar una inconsistencia como 0 = 1 u otra donde cero esté a la izquierda, en este
caso, no hay forma de que se presente esta situación, ya que en la derecha hay un cero. Se
concluye que
a) No hay forma que el sistema no tenga solución.
b) Si K 6= 1 el sistema tiene una única solución.
c) Si K = 1 el sistema tiene infinitas soluciones.
3. (15 %) Sean A y B matrices cuadradas del mismo orden, ambas antisimétricas. Demuestre que
A · (AB + BA) − (AB + BA) · A
Es simétrica.
Solución. Las matrices A y B son antisimétricas de acuerdo al enunciado, entonces AT = −A
y B T = −B. Como se debe demostrar que la matriz A·(AB +BA)−(AB +BA)·A es simetrica,
la nombramos C, C = A · (AB + BA) − (AB + BA) · A y se debe demostrar que C T = C. Se
transpone C y se aplican operaciones de la transposición para tener
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C T = [A · (AB + BA) − (AB + BA) · A]T
. . .Transpuesta de C
=[A · (AB + BA)]T − [(AB + BA) · A]T
. . .(A − B)T = AT − B T
=(AB + BA)T AT − AT (AB + BA)T
. . .(AB)T = B T AT
=[(AB)T + (BA)T ]AT − AT [(AB)T + (BA)T ]
. . .(A + B)T = AT + B T
=[B T AT + AT B T ]AT − AT [B T AT + AT B T ]
. . .(AB)T = B T AT
=[(−B)(−A) + (−A)(−B)](−A) − (−A)[(−B)(−A) + (−A)(−B)]
= − [BA +
...