Pendulo Simple

Hablamos en clase de la función f(z) = z2 = x2 – y2 + i 2xy, siendo u(x, y) = x2 – y2, v(x, y) = 2xy, las partes real e imaginaria de esta función. Observemos cómo se asocian los valores del Plano Z con los valores del Plano W, bajo la función w = f(z).

La recta vertical x = 1 en el Plano Z se transforma al Plano W como

u(1, y) = 1 – y2,

v(1, y) = 2y,

formándose un par de ecuaciones simultáneas. Despejando la “y” de la segunda e insertándola en la primera se tiene

u = 1 – (v/2)2  4u = 4 – v2  v2 = 4 – 4u  v2 = –4(u – 1)

es decir, es la ecuación de una parábola horizontal (para cada valor de u hay dos de v) con vértice (1, 0), abriéndose hacia la izquierda. Tenemos que 4p = –4, por lo que, p = –1. O sea que el foco está en (1 – 1, 0) = (0, 0), en el origen. Como el lado recto es |4p| = 4, los extremos de éste son (0, –2) y (0, 2).

Grafiquen por favor tanto lo que pasa en el Plano Z y lo que pasa en el Plano W.

Ahora, la recta horizontal y = 1 en el Plano Z se transforma al Plano W en

u(x, 1) = x2 – 1,

v(x, 1) = 2x,

despejando la x de la segunda y sustituyendo en la primera se tiene

u = (v/2)2 – 1  4u = v2 – 4  v2 = 4(u + 1),

como vemos es otra parábola con vértice en (–1, 0); 4p = 4, p = 1; F(–1 + 1, 0) = (0, 0); extremos del lado recto (0, 1).

Luego, sospechamos de que, en general, las rectas en el Plano Z se transforman a parábolas en el Plano W. Por lo que de

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Encuentre la imagen de la recta y = x – 1 bajo la función f(z) = z2.

Por otra parte cabe aclarar que la forma en que se transforman puntos individuales es similar a lo anterior. Por ejemplo, el punto del Plano Z (2, 3), se transforma al punto

u(2, 3) = 22 – 32 = 4 – 9 = –5,

v(2, 3) = 2(2)(3) = 12,

es decir, (–5, 12) del plano W, etc.

Practiquen por su cuenta inventándose algunos puntos y grafíquenlos tanto en el Plano Z como en el Plano W.

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