Pendulo Simple

2. PENDULO SIMPLE

TEORIA:

Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable.

Si la partícula se desplaza a una posición q0 (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar.

El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l. Estudiaremos su movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal.

Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos

 Una fuerza vertical, el peso mg

 La acción del hilo, una fuerza T en la dirección radial

Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg•senq en la dirección tangencial y mg•cosq en la dirección radial.

 Ecuación del movimiento en la dirección radial

La aceleración de la partícula es an=v2/l dirigida radialmente hacia el centro de su trayectoria circular.

La segunda ley de Newton se escribe

man=T-mg•cosq

Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular q podemos determinar la tensión T del hilo.

 Ecuación del movimiento en la dirección tangencial

La aceleración de la partícula es at=dv/dt.

Recuérdese que la componente tangencial de la aceleración describe únicamente los cambios en el módulo de la velocidad de la partícula, mientras que la aceleración normal da cuenta de los cambios en la dirección de la velocidad con el tiempo.

La segunda ley de Newton se escribe

mat=-mg•senq

La relación entre la aceleración tangencial at y la aceleración angular a es at=a •l. La ecuación del movimiento se escribe en forma de ecuación diferencial

(1)

Oscilaciones de pequeña amplitud

Cuando el ángulo q es pequeño entonces, senq » q , el péndulo describe oscilaciones armónicas cuya ecuación es

q =q0•sen(w t+j )

de frecuencia angular w2=g/l, o de periodo

Actividades

Las actividadas propuestas van a consistir en la medida de la aceleración de la gravedad en la superficie de un cuerpo celeste .

La ley de la gravitación de Newton describe la fuerza de atracción entre dos cuerpos de masas M y m respectivamente cuyos centros están separados una distancia r.

La intensidad del campo gravitatorio g, o la aceleración de la gravedad en un punto P situado a una distancia r del centro de un cuerpo celeste de masa M es la fuerza sobre la unidad de masa g=F/m colocada en dicho punto.

su dirección es radial y dirigida hacia el centro del cuerpo celeste.

En la página dedicada al estudio del Sistema Solar, proporcionamos los datos relativos a la masa (o densidad) y radio de los distintos cuerpos celestes.

Ejemplo:

Marte tiene un radio de 3394 km y una masa de 0.11 masas terrestres (5.98•1024 kg). La aceleración g de la gravedad en su superficie es

Tenemos dos procedimientos para medir esta aceleración

 Cinemática

Se mide con un cronómetro el tiempo t que tarda en caer una partícula desde una altura h. Se supone que h es mucho más pequeña que el radio r del cuerpo celeste.

 Oscilaciones

Se emplea un instrumento mucho más manejable, un péndulo simple de longitud l. Se mide el periodo de varias oscilaciones para minimizar el error de la medida y se calculan el periodo P de una oscilación. Finalmente, se despeja g de la fórmula del periodo.

En el applet se selecciona un cuerpo celeste de la lista de cuerpos celestes. Se mide el tiempo de cinco oscilaciones con el cronómetro dispuesto al efecto. Se cambia la longitud del péndulo y se realiza una nueva medida y así sucesivamente.

En el control área de texto, situado a la izquierda del applet se recoge los datos "experimentales", longitud del péndulo (en m) periodo (de una oscilación en s). Cuando se tienen suficientes datos recolectados se pulsa el botón titulado Gráfica.

De la fórmula del periodo establecemos la siguiente relación lineal.

Se representan los datos "experimentales" en un sistema de ejes:

 P2/(4p2) en el eje vertical y

 la longitud del péndulo l en el eje horizontal.

El programa interactivo calcula y representa la recta que mejor ajusta a los datos experimentales por el procedimiento denominado regresión lineal. La pendiente a de la recta es una medida de la inversa de la aceleración de la gravedad, g=1/a

Oscilaciones de cualquier amplitud

Vamos a comprobar que el péndulo simple se comporta aproximadamente como un oscilador armónico solamente cuando la amplitud es pequeña, cuando es válida la aproximación senq » q .

Principio de conservación de la energía

La partícula de masa m se mueve bajo la acción de una fuerza conservativa, el peso mg, por lo que la energía total permanece constante

Si la amplitud de las oscilación es q0, la velocidad v de la partícula cuando su posición angular es q , es

Expresando la velocidad v como producto de la velocidad angular w por el radio l del arco de la circunferencia que describe.

• Integrando obtenemos el periodo P de la oscilación

El factor 4 se debe a que el tiempo que tarda el péndulo en desplazarse desde la posición inicial q0 a la de equilibrio 0 es el mismo que de 0 a -q0, ó que de q0 a 0 ó finalmente, de 0 a q0, completándose así una oscilación.

• Esta integral elíptica se puede aproximar por el siguiente desarrollo en serie:

Los tres primeros términos ajustan bien con los resultados experimentales para ángulos menores q0<50º. Para otros ángulos, se puede realizar una integración numérica por los métodos como el trapecio o mejor por el método de Simpson.

Para simular el movimiento del péndulo para cualquier amplitud, se ha resuelto la ecuación diferencial de su movimiento (1), aplicando el procedimiento numérico de Runge-Kutta.

Actividades

El péndulo del programa interactivo tiene una longitud fija de 70 cm por lo que el periodo de las pequeñas oscilaciones es de P0=1.68 s.

Se elige la amplitud de las oscilación, el ángulo en grados. Se mide con el cronómetro el tiempo de cinco oscilaciones. En el control área de texto, se recogen los datos "experimentales" amplitud en grados, periodo de cinco oscilaciones en segundos. El periodo P medido para cada oscilación tendrá que se mayor que P0.

Cuando se han recolectado suficientes datos se pulsa el botón titulado Gráfica. Y

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