Potencias

POTENCIAS

Una potencia es un producto de factores iguales. Está formada por la base y el exponente.

El factor que se repite se llama base. El número de veces que se repite el factor, o sea la base, se llama exponente. Esto significa que si se tiene la potencia 2 6 (dos elevado a seis o a la sexta), la base será 2 y el exponente 6, lo cual dará como resultado 64 porque el 2 se multiplica por si mismo 6 veces (2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 64).

Ejemplos:

2 5 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32 El exponente es 5, esto significa que la base, el 2, se debe multiplicar por sí misma cinco veces.

3 2 = 3 • 3 = 9 El exponente es 2, esto significa que la base (3) se debe multiplicar por sí misma dos veces.

5 4 = 5 • 5 • 5 • 5 = 625 El exponente es 4, esto significa que la base (5) se debe multiplicar por sí misma cuatro veces.

Una potencia puede representarse en forma general como:

an = a • a • a • ........

Donde: a = base n = exponente “ n” factores iguales

Potencia de base entera y exponente natural

Si la base a pertenece al conjunto de los Números Enteros ( a Z ) (léase a pertenece a zeta) significa que puede tomar valores positivos y negativos. Si el exponente pertenece al conjunto de los Números Naturales, significa que puede tomar valores del uno en adelante (1, 2, 3, .....).

Potencia de base entera positiva:

Si la base a es positiva, la potencia siempre será un entero positivo, independiente de los valores que tome el exponente, es decir, de que sea par o impar.

(+a) n = +a n

Ejemplos:

(+4) 3 = 43 = 4 • 4 • 4 = 64 = + 64 Exponente impar

(+3) 4 = 34 = 3 • 3 • 3 • 3 = 81 = +81 Exponente par

Potencia de base entera negativa:

Si la base a es negativa el signo de la potencia dependerá de si el exponente es par o impar.

a) Si el exponente es par, la potencia es positiva.

(_ a) n (par) = +a n

Ejemplos:

(_5) 2 = _5 • _5 = +25 = 25 _ • _ = +

(_2) 8 = _2 • _2 • _2 • _2 • _2 • _2 • _2 • _2 = +256 = 256

b) Si el exponente es impar, la potencia es negativa.

(_a) n (impar) = _a n

Ejemplos:

(_2) 3 = _2 • _2 • _2 = _8

(_3) 3 = _3 • _3 • _3 = _27

En resumen:

Base Exponente Potencia

Positiva Par Positiva

Positiva Impar Positiva

Negativa Par Positiva

Negativa Impar Negativa

Multiplicación de potencias de igual base

Para multiplicar potencias de igual base, se suman los exponentes y se mantiene la base.

Ejemplos:

1)

2)

3)

División de potencias de igual base

Para dividir potencias de igual base, se restan los exponentes y se conserva la base.

Ejemplos:

1)

2)

3)

Multiplicación de potencias de igual exponente

Se multiplican las bases y se conserva el exponente.

Ejemplo:

División de potencias de igual exponente

Se dividen las bases y se conserva el exponente

Ejemplo:

Potencia elevada a potencia

Se eleva la base al producto (multiplicación) de los exponentes; o sea, se conserva la base y se multiplican los exponentes.

Ejemplos:

1)

2)

Potencia de base racional y exponente entero

Sea la base (fracción) perteneciente al conjunto de los Números Racionales ( Q ), donde a es el numerador y b el denominador distinto de cero, y el exponente pertenece a los números enteros (n Z). Para elevar una fracción a potencia se elevan por separado numerador y denominador.

Ejemplos:

1)

2)

3)

Potencia de exponente negativo

Si es un número racional y – n un número entero, entonces se tiene,

Si el exponente es negativo el numerador se invierte con el denominador, y el exponente cambia de signo.

Ejemplos:

1)

2)

3)

POTENCIAS DE BASE 10

• Toda potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como

unidades indica el exponente.

Ejemplos: 10

2

= 10 x 10 = 100

10

3

= 10 x 10 x 10 = 1.000

10

5

= 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100.000

• Los números de muchas cifras que acaban en ceros tienen una escritura más

cómoda utilizando potencias de base 10.

Ejemplos: 120.000.000 = 12 x 10.000.000 = 12 x 10 7

200.000.000 = 2 x 100.000.000 = 2 x 10 8

Ejercicios de potencias

1Escribe en forma de una sola potencia:

1 33 • 34 • 3 =

2 57 : 53 =

3 (53)4 =

4 (5 • 2 • 3)4 =

5 (34)4 =

6 [(53)4 ]2 =

7 (82)3

8 (93)2

9 25 • 24 • 2 =

10 27 : 26 =

11 (22)4 =

12 (4 • 2 • 3)4 =

13(25)4 =

14 [(23 )4]0=

15 (272)5=

16 (43)2 =

2Realizar las siguientes operaciones con potencias:

1 (−2)2 • (−2)3 • (−2)4 =

2 (−8) • (−2)2 • (−2)0 (−2) =

3 (−2)−2 • (−2)3 • (−2)4 =

4 2−2 • 2−3 • 24 =

5 22 : 23 =

6 2−2 : 23 =

7 22 : 2−3 =

8 2−2 : 2−3 = 2

9 [(−2)− 2] 3 • (−2)3 • (−2)4 =

10 [(−2)6 : (−2)3 ]3 • (−2) • (−2)−4 =

3Realizar las siguientes operaciones con potencias:

1(−3)1 • (−3)3 • (−3)4 =

2 (−27) • (−3) • (−3)2 • (−3)0=

3 (−3)2 • (−3)3 • (−3)−4 =

4 3−2 • 3−4 • 34 =

5 52 : 53 =

6 5−2 : 53 =

7 5 2 : 5 −3 =

8 5−2 : 5−3 =

9 (−3)1 • [(−3)3]2 • (−3)−4 =

10 [(−3)6 : (−3)3] 3 • (−3)0 • (−3)−4 =

4Realiza las siguientes operaciones con potencias:

1

2

3

4

5

6

7

8

7Calcula los valores de

...