Problemas de modelos

Sergio José Alfaro Morales

Código: 1044930636

Determinar los límites dados de la función  [pic 1]

1. Se resuelve el inciso a, como el límite tiende a  , se usa la expresión para la cuál se encuentra definida la función para el punto seleccionado [pic 2]

[pic 3]

1. Se reemplaza directamente el valor de   [pic 4]

[pic 5]

1. Se resuelve el inciso b, se reemplaza el valor de   para el valor de  [pic 6][pic 7]

 [pic 8]

1. Se obtiene el valor del límite

[pic 9]

1. Se desarrolla el inciso c propuesto en el ejercicio 1, para el cual  [pic 10]

[pic 11]

1. Se halla el valor del límite para  [pic 12]

[pic 13]

1. Continuando, se realiza el literal d, para el cual se pide hallar el límite cuando  [pic 14]

[pic 15]

1. Definimos el valor del límite

[pic 16]

1. Resolviendo el inciso e, el cual pide hallar el valor del límite cuando  [pic 17]

[pic 18]

1. Se aplica el reemplazo directo como método para solucionar este límite

[pic 19]

1. Se validaron los resultados obtenidos graficando la función a trozos en geogebra

[pic 20]

Calcular el siguiente límite indeterminado de la forma   [pic 21]

[pic 22]

1. Para calcular el límite de la función dada se procede a multiplicar la expresión por su conjugada

[pic 23]

1. Se simplifica la expresión obtenida haciendo uso de la conjugada

[pic 24]

1. Se reduce la función racional resultante

[pic 25]

1. Se puede cancelar la variable   presente en el numerador y el denominador de la función [pic 26]

[pic 27]

1. Finalmente, con la indeterminación anulada, se procede a reemplazar de manera directa el valor de la variable cuando el límite tiende a cero. Esto con el fin de encontrar el valor del límite de la función

[pic 28]

Calcular el siguiente límite el infinito y comprobar si el límite existe

[pic 29]

1. Para empezar el ejercicio, es necesario convertir la indeterminación a una de tipo   o , se aplica la conjugada [pic 30][pic 31]

[pic 32]

1. Se aplica el producto y se reduce a su mínima expresión el polinomio resultante

[pic 33]

[pic 34]

1. Se divide cada una de las   correspondientes a la variable, en el mayor exponente de la misma variable. Para este caso, el mayor exponente de la variable   hace referencia al término , pero al encontrarse dentro de una raíz el exponente realmente es lineal.[pic 35][pic 36][pic 37]

[pic 38]

1. Se simplifica el polinomio, y se aplican reglas de los exponentes para introducir la variable   dentro de la raíz cuadrada presente en el divisor, para realizar esto se debe ingresar la variable como   dentro de la raíz[pic 39][pic 40]

[pic 41]

1. Finalmente, se reduce una vez más la expresión resultante, y se procede a reemplazar el valor al que tiende la variable para encontrar el valor del límite

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

1. A modo de confirmar el resultado obtenido, se usa la herramienta geogebra para validar el resultado dado

[pic 45]

Se puede observar con ayuda de geogebra que entre más se acerque el valor de   a  , el valor de   se acercará cada vez más a  [pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]

Evaluar el siguiente límite trigonométrico

[pic 50]

1. Primero se saca la constante del límite, gracias a las propiedades de los límites

[pic 51]

1. También, por propiedades de los límites es posible descomponer la expresión inicial en el producto de varias expresiones

[pic 52]

1. Se usa la identidad trigonométrica [pic 53]

[pic 54]

1. Se aplican extremos y medios

[pic 55]

1. Se hace uso de una de las propiedades de los límites trigonométricos , para esto, se separa la expresión obtenida anteriormente [pic 56]

[pic 57]

1. Finalmente se reemplaza el valor de la variable   [pic 58]

[pic 59]

1. Se obtiene el valor del límite, por lo cual el límite existe

[pic 60]

Encontrar el valor de   para que la función a trozos sea continua [pic 61]

[pic 62]

1. Debemos recordar que para que se pueda comprobar la continuidad de una función a trozos, es esencial que el límite por izquierda y por derecha de un punto a analizar tienda al mismo valor para que el límite exista

[pic 63]

1. Se reemplaza el valor de   en el límite [pic 64]

[pic 65]

1. Reduciendo la expresión se obtiene

[pic 66]

1. Se encuentra el valor de   para el cual la función va a ser continua [pic 67]

[pic 68]

1. Finalmente, la función reemplazando el valor de   encontrado queda de la siguiente forma[pic 69]

[pic 70]

1. Se verificó que la función a trozos obtenida fuera continua con ayuda de la herramienta informática geogebra

[pic 71]

La función de costo de un producto es:

[pic 72]

1. Teniendo en cuenta las condiciones para que se cumpla continuidad, se procede a verificar que el límite por izquierda y derecha del valor seleccionado coincida numéricamente, así se puede asegurar la continuidad de la función costo

[pic 73]

1. Se procede a reemplazar el valor de la variable   dentro del límite[pic 74]

[pic 75]

1. Se despeja   para encontrar su valor, el cual hará que sea continua la función que modela el costo del producto [pic 76]

[pic 77]

1. Se eleva al cuadrado a ambos lados de la expresión

[pic 78]

1. Se pasa a restar el término independiente de lado derecho de la igualdad

[pic 79]

1. Finalmente se despeja   y se encuentra el valor para el cual la función será continua [pic 80]

[pic 81]

[pic 82]

1. Al reemplazar el valor de   conseguido, se asegura que la función costo sea continua y queda de la siguiente manera [pic 83]

[pic 84]

1. Una vez determinado el valor de   que hace que la función a trozos sea continua, procedemos a realizar el literal b del ejercicio planteado. Para saber el valor de una unidad cuando se solicita un número extremadamente grande de unidades, es necesario realizar el límite cuando tiende a infinito de la función costo[pic 85]

[pic 86]

1. Para la solución de límites al infinito, es necesario dividir cada variable   contenida en el polinomio, por el mayor exponente de la variable   presente en la expresión. Al encontrarse   dentro de la raíz, realmente es una variable de carácter lineal [pic 87][pic 88][pic 89]

[pic 90]

1. Gracias al uso de las propiedades de los exponentes, es posible tener la variable   presente en el denominador, dentro de la raíz que acompaña al polinomio del numerador[pic 91]

[pic 92]

1. Se simplifica la fracción resultante y se reemplaza directamente el valor de   en el límite para obtener el valor por unidad del producto cuando se solicita un número de unidades extremadamente grande[pic 93]

[pic 94]

En tiempos de crisis económica se estima que el desempleo se rige por la función:

[pic 95]

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