Problemas diversos.

OPERACIONES CON POLINOMIOS

ADICIÓN DE POLINOMIOS: Para realizar la operación de adición entre dos o más polinomios, se debe tener presente que dichos polinomios a operar deben ser completos y ordenados, para luego reducir los términos semejantes de dichos polinomios, colocándolos en forma vertical.

Ejemplo:

P(x) = 7x2 – 5x4 +3x – 15  y  Q(x) = 5x3 – 7 + 9x2 – 6x, hallar: P(x) + Q(x)

Solución:

• Los polinomios dados se ordenan en forma decreciente y completan los términos faltantes.

P(x) = -5x4 + 0x3+7x2 + 3x – 15

Q(x) = 5x3 +9x2 – 6x – 7

Se observa que los términos faltantes se completan con coeficiente cero.

• Los polinomios se ordenan en forma vertical deponiéndolos uno sobre el otro, de forma que en la misma columna se encuentren los términos semejantes

                P(x)                =                 –5x4   +   0x3   +   7x2   +   3x   –   15

                Q(x)                =                           5x3   +   9x2   –   6x   –      7[pic 1]

                P(x) + Q(x)     =                –5x4  +    5x3   +  16x2  –   3x   –   22

SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS: Para realizar la operación de sustracción entre dos polinomios, se debe tener presente que dichos polinomios a operar deben ser completos y ordenados, luego el polinomio  sustraendo cambiara los signos década uno de sus términos por el signo contrario al inicial, finalmente ordenarlos en forma vertical de modo que los términos semejantes se encuentren en una misma columna.

Ejemplo:

P(x) = 7x2 – 5x4 +3x – 15  y  Q(x) = 5x3 – 7 + 9x2 – 6x, hallar: P(x) – Q(x)

Solución:

• Los polinomios dados se ordenan en forma decreciente y completan los términos faltantes.

P(x) = -5x4 + 0x3+7x2 + 3x – 15

Q(x) = 5x3 +9x2 – 6x – 7

Se observa que los términos faltantes se completan con coeficiente cero.

• El polinomio sustraendo representado por Q(x)  cambia de signos en cada uno de sus términos.

-  Q(x) = - 5x3 – 9x2 + 6x + 7

• Los polinomios se ordenan en forma vertical deponiéndolos uno sobre el otro, de forma que en la misma columna se encuentren los términos semejantes

                P(x)                =                 –5x4   +   0x3   +   7x2   +   3x   –   15

         - Q(x)                =                          –   5 x3   –  9x2   +   6x   +     7[pic 2]

                P(x) – Q(x)     =                –5x4   –   5x3   –   2x2   +   9x   –   8

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS: Para multiplicar dos polinomios, se multiplican todos los términos del multiplicador por todos los del multiplicando, teniendo en cuenta las leyes respectivas y se reducen los términos semejantes.

Ejemplo:

Efectuar:

(3x – 2)(4x - 5)

Solución:

(3x – 2)(4x - 5) = 3x(4x – 5) –2(4x – 5)

(3x – 2)(4x - 5) =  12x2 – 15x – 8x + 20

(3x – 2)(4x - 5) =  12x2 – 23x + 20

MÉTODOS PARA MULTIPLICAR POLINOMIOS

1. MÉTODO CLÁSICO: este método es el más común y más utilizado, y consiste en multiplica los términos uno a uno aplicando a la vez la propiedad de la multiplicación de potencias de igual base.

Ejemplo:

Efectuar: (5x2 – 3x + 2x4 + 6)(3x2 – 4x + 2)

Sol:

Completando y ordenando el polinomio, multiplicando se obtiene:

                                                2x4 – 0x3 + 5x2 – 3x + 6[pic 3]

                                              3x2 – 4x + 2[pic 4]

                                                6x6 + 0x5 + 15x4 – 9x3   + 18x2[pic 5]

                                                            - 8x5 +   0x4 – 20x3 + 12x2 – 24x

                                                                    4x4 –   0x3 + 10x2 –   6x + 12[pic 6]

                                                 6x6 – 8x5 + 19x4 – 29x3 +  40x2 – 30x + 12

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