Productos Y Cocientes Notables

Productos y cocientes notables

En este articulo se tratara una rama muy importante del algebra, se aprenderá a hacer reconocimiento por simple inspección de algunas expresiones algebraicas especiales que se conocen como producto y cociente notable.

Existen casos en los que se puede hacer la división o el producto de una expresión algebraica ya esta un monomio, un binomio o un polinomio; solo con observarla.

Los productos y cocientes notables son los siguientes:

• 1. El cuadrado de un monomio.

• 2. El cuadrado de un binomio compuesto por la suma de sus términos.

• 3. El cuadrado de un binomio compuesto por la diferencia del primer termino menos el segundo.

• 4. El producto de un binomio compuesto por la suma de sus términos multiplicado por el binomio compuesto por la diferencia del primer término menos el segundo.

• 5. El cubo de un binomio compuesto por la suma de sus términos.

• 6. El producto de dos binomios constituidos por la suma de sus términos, donde el primer termino de los dos es igual y el segundo es diferente.

• 7. El cociente de un binomio donde el primer termino esta elevado al cuadrado menos el segundo término que también esta elevado al cuadrado, divido por el binomio constituido por la suma de sus términos.

• 8. El cociente del binomio conformado por la suma de sus términos los cuales están elevados al cubo dividido por el binomio compuesto por la suma de sus términos.

• 9. El cociente del binomio conformado por la diferencia de sus términos los cuales están elevados al cubo dividido por el binomio compuesto por la diferencia de del primer termino menos el segundo.

• 10. Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales dividido entre la suma o diferencia de las cantidades.

• Productos Notables

•

• Los productos notables son multiplicaciones especiales que resultan de generalizar algunos productos.

• Los productos notables nos permiten encontrar un resultado aplicando una formula general sin necesidad de desarrollar siempre los productos o potencias indicadas.

• El cuadrado de lado (a+b),esta divido en cuatro regiones. Por tanto el área del cuadrado se puede representar como la suma de las áreas de las regiones que lo conforman. Es decir:

• A= (a+b)2 = a2+ab+ab+b2 = a2+2ab+b2

• Por tanto, la formula general para aplicar en este tipo de productos es:

• (a+b)2 = a2+2ab+b2

• En términos generales se lee:

• EL CUADRADO DE LA SUMA DE DOS TERMINOS ES IGUAL AL CUADRADO DEL PRIMER TERMINO, MAS EL DOBLE DEL PRIMER TERMINO POR EL SEGUNDO TERMINO,MAS EL CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO.

• Veamos algunos ejemplos:

• Resolver las siguientes potencias:

• 1. (2x+3y)2= (2x)2+2(2x)(3y)+(3y)2 = 4x2+12xy+9y2

• 2. (1/2x2+3/4y5)2= (1/2x2)2+2(1/2x2)(3/4y5)+(3/4y5)2

• = 1/4x4+6/8 x2y5+9/16y10

• NOTA: RECORDEMOS QUE TODO LO QUE SE ENCUENTRA DENTRO DEL PARENTESIS SE DEBE ELEVAR A LA POTENCIA SEÑALADA.

• POR EJEMPLO (12ab5c3)2= 144a2b10c6.

• El resultado anterior es como si separara cada factor y lo elevara a la POTENCIA INDICADA, para este ejemplo lo elevamos al cuadrado y mentalmente esta seria la operación que realizaríamos:

• (12ab5c3)2 = (12)2 (a)2 (b5)2 (c3)2= 144a2b10c6.

• Ahora veamos el cuadrado de la diferencia de dos términos la formula es igual a la anterior lo unico que cambia es que el signo para el segundo termino es NEGATIVO POR LO QUE SE TRATA DE UNA RESTA, entonces la formula será:

• (a-b)2 = a2-2ab+b2

• En términos generales se lee:

• EL CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS TERMINOS ES IGUAL AL CUADRADO DEL PRIMER TERMINO, MENOS EL DOBLE DEL PRIMER TERMINO POR EL SEGUNDO TERMINO, MAS EL CUADRADO DEL SEGUNDO TERMINO.

• Veamos algunos ejemplos:

• Resolver las siguientes potencias:

• (a-3)2= (a)2-2(a)(3)+(3)2 =a2-6ª+9

• (10x3-9xy5)2= (10x3)2-2(10x3)(9xy5)+(9xy5)2=100x6-20x3(9xy5)+81x2y10= 100x6-180x4y5+81x2y10

• El proceso es igual que para el anterior, este producto notable se le conoce mayormente por el nombre de TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Y ES EL TERCER CASO DE FACTORIZACION.

• Ahora veremos otro producto notable que se denomina:

• PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES:

• Matemáticamente se expresa de la siguiente forma:

• (a+b)(a-b) o (a-b)(a+b) Al desarrollarse quedaran de la siguiente forma:

• (a+b)(a-b)= a2-b2

• (a-b)(a+b)= a2-b2

• Veamos algunos ejemplos:

• Resolver las siguientes potencias:

• (x+y)(x-y)= x2-y2

• (2a-1)(2a+1) = (2a)2-(1)2= 4a2-1

• (2m+9n)(2m-9n)= (2m)2-(9n)2= 4m2-81n2

• Este producto notable se le conoce por el nombre de DIFERENCIA DE CUADRADOS Y ES EL CUARTO CASO DE FACTORIZACION.

• Para lograr obtener éxito en el desarrollo de de cada uno de los productos notables lo indispensable es:

• Primero: Identificar cual es el caso que me presenta el ejercicio.

• Segundo: Aprender a desarrollar la formula y comprender cual es la operación que se realiza.

• A continuación vamos a ejercitarnos por medio de algunos ejercicios :

• EJERCICIOS:

• Desarrollar los siguientes productos notables esto quiere decir que los paréntesis se deben destruir.

• Además debemos clasificar cada ejercicio en TRINOMIO CUADRADO PERFECTO O EN UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS.

• a. (x5-3ay2)( x5+3ay2)

• b. (x5-3ay2)2

• c. (y2+3y)( y2+3y)

• d. (4ax-1)2

• e. (ax+1-2bx-1)( ax+1+2bx-1)

• f. (2m-3n)( 2m¬+3n)

• g. (4m5+5n6)2

• h. (10x3-9xy5)2

• i. (6x2-m2x)( 6x2+m2x)

• j. (12n4+8p5)( 12n4-8p5)

• k. (2a-3b)2

• l. (3ax+8by)( 3ax-8by)

• m. (x10+10y12)2

• n. (7mnp+5j5k9l4)( 7mnp-5j5k9l4)

• ñ. 16x4+24x2y8+9y16

• o. 64a6-9b2

• p. 49x2+154x+121

•

• CUBO DE UN BINOMIO

• Las expresiones del cubo de un binomio son:

• CUBO DE LA SUMA DE DOS TERMINOS Y SU EXPRESION MATEMATICA ES:

• (a+b)3= a3+3a2b+3ab2+b3

• En términos generales se lee:

• EL CUBO DE LA SUMA DE DOS TERMINOS ES IGUAL AL CUBO DEL PRIMER TERMINO, MAS TRES VECES EL PRIMER TERMINO ELEVADO AL CUADRADO POR EL SEGUNDO TERMINO, MAS TRES VECES EL PRIMER

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