Producto Notable

PRODUCTOS NOTABLES

Tanto en la multiplicación algebraica como en la aritmética se sigue un algoritmo cuyos pasos conducen al resultado. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla cuya aplicación simplifica la obtención del resultado. Éstos productos reciben el nombre de productos notables.

Se llama producto notable a un producto que puede ser obtenido sin efectuar la multiplicación.

Algunos de ellos son los siguientes:

Cuadrado del Binomio

Recordemos que a la expresión algebraica que consta de dos términos se le llama binomio. El producto de un binomio por sí mismo recibe el nombre de cuadrado del binomio. El desarrollo de un cuadrado de binomio siempre tiene la misma estructura. Por ejemplo, al elevar al cuadrado el binomio “a+b”, multiplicando término a término, se obtendría:

pero si comparamos la expresión “ ” con el resultado de su expansión “ ” podemos observar que el resultado tiene una estructura como la siguiente:

Donde representa al primer término del binomio y al segundo.

Si tomamos como ejemplo al binomio “ab”, ocurre lo mismo que para a+b sólo que en la reducción de términos semejantes se conserva el signo menos delante del doble producto, o sea:

En ambos casos vemos que se tiene la misma estructura diferenciándose sólo en un signo. A partir de este hecho podemos presentar la fórmula para desarrollar el producto notable cuadrado del binomio:

“El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término más (o menos) el doble del producto del primer término por el segundo más el cuadrado del segundo término”

La estructura que representa esta fórmula es:

Algunos ejemplos:

i.

ii.

iii.

Representación Geométrica del Cuadrado del Binomio

El cuadrado del binomio, como otros productos notables, tiene una representación geométrica en el plano.

Consiste en considerar el área de un cuadrado de lado “a+b“ y las regiones que estas medidas generan en el cuadrado. Consideremos dos trazos “a” y “b” :

Con ellos se construye un trazo de longitud “a+ b“:

y con él un cuadrado de la misma longitud:

Si se extienden los extremos de los trazos “a” y “b“ éstos dividen al cuadrado en cuatro áreas menores: dos cuadrados, uno de lado “a” y otro menor de lado “b“, y dos rectángulos de largo “a” y ancho “b“.

La suma de las áreas de estos cuadrados y rectángulos es igual al área total del cuadrado de lado a+ b, es decir:

Suma por Diferencia

Consideremos el producto de la suma de dos términos “ ” por su diferencia “ ”. Al desarrollar el producto:

Podemos observar que el resultado tiene una

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