Progresiones Y Sucesiones Calculo

INTRODUCCIÓN

Las progresiones nos resultan de gran utilidad práctica, en particular cuando trabajamos con datos relacionados con el crecimiento de la población mundial, el aumento de consumo de electricidad, o el incremento de una capital en función del tiempo. En ingeniería, administración y otras áreas también se nos presentan aplicaciones, que podemos manejar mediante el concepto de sucesión.

Las matemáticas es una ciencia eminentemente teórica, debido a que parte de teorías y definiciones, cuyas demostraciones se soportan en el principio de la lógica, los axiomas y postulados, que permiten el desarrollo de habilidades de pensamiento de orden superior, especialmente la deducción, inducción y la abstracción, pero a su vez presenta dificultades para poder desplegar dichas habilidades, ya que se requiere trabajar el sentido del análisis, desarrollo del raciocinio, aspectos no fáciles de activar en la mente humana.

OBJETIVOS

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Determinar y hallar, dadas varias sucesiones, aquellas que correspondan a progresiones aritméticas y progresiones geométricas, determinar sus características, su diferencia común, su primer término, la suma de su n primeros términos y su sentido de variación

Hallar los primeros términos de una sucesión, a partir de su término general, dado el (o los) primer (os) término (s) de una sucesión, y la relación de recurrencia

Hallar su diferencia común, su primer término, la suma de su n primeros términos y su sentido de variación.

ACTIVIDAD.

FASE 1

Hallar los 5 primeros términos de las siguientes sucesiones:

U_n={n^2/(1+n)}n>3

Primer término. U_n={4^2/(1+4)}={16/5}=3.2

Segundo término. U_n={5^2/(1+5)}={25/6}=4.16

Tercer término. U_n={6^2/(1+6)}={36/7}=5.14

Cuarto termino. U_n={7^2/(1+7)}={49/8}=6.125

Quinto termino U_n={8^2/(1+8)}={64/9}=7.11

"U" _"n" "=" {"1" /("1-" "n" ^"2" )}"n ≥2"

Primer termino U_n={1/(1-2^2 )}={(-1)/3}

Segundo termino U_n={1/(1-3^2 )}={(-1)/8}

Tercer termino U_n={1/(1-4^2 )}={(-1)/15}

Cuarto termino U_n={1/(1-5^2 )}={(-1)/24}

Quinto termino U_n={1/(1-6^2 )}={(-1)/35}

U_n={1/n^2 }n≥1

Primer termino U_n={1/1^2 }={1/1}

Segundo termino U_n={1/2^2 }={1/4}

Tercer termino U_n={1/3^2 }={1/9}

Cuarto termino U_n={1/4^2 }={1/16}

Quinto termino U_n={1/5^2 }={1/25}

¿La sucesión es creciente o decreciente? ¿Por qué?

¿Es monótona o no? ¿Por qué?

La sucesión es decreciente porque Un+1≤Un, por lo tanto también es monótona porque a medida que “n” crece, la secuencia de valores disminuye.

Halle los términos de las siguientes sucesiones y determine si ¿la sucesión es creciente o decreciente? ¿Por qué? ¿Es monótona o no? ¿Por qué?

U_n={n/(3n-1)} 1<n≤6

Primer termino U_n={2/(3(2)-1)}=2/5

Segundo termino U_n={3/(3(3)-1)}={3/8}

Tercer termino U_n={4/(3(4)-1)}={4/11}

Cuarto termino U_n={5/(3(5)-1)}={5/14}

Quinto termino U_n={6/(3(6)-1)}={6/17}

La sucesión es decreciente porque cada término de la sucesión es menor que el anterior, por lo tanto también es monótona porque si una sucesión es creciente o decreciente se dice que es monótona.

U_n={(3n-1)/n} 1≤n≤5

Primer termino U_n={(3(1)-1)/1}=2/1=2

Segundo termino U_n={(3(2)-1)/2}=5/2=2.5

Tercer termino U_n={(3(3)-1)/3}=8/3=2.66

Cuarto termino U_n={(3(4)-1)/4}=11/4=2.75

Quinto termino U_n={(3(5)-1)/5}=14/5=2.8

La sucesión es creciente porque cada término es mayor que el anterior, por lo tanto también es monótona.

U_n={(1+n)/n^2 } 1<n<7

Primer termino U_n={(1+2)/2^2 }=3/4

Segundo termino U_n={(1+3)/3^2 }=4/9

Tercer termino U_n={(1+4)/4^2 }=5/16

Cuarto termino U_n={(1+5)/5^2 }=6/25

Quinto termino U_n={(1+6)/6^2 }=7/36

La sucesión es decreciente porque cada término es menor al anterior, por lo tanto es monótona.

Hallar, si las tiene, las cotas superior e inferior de las siguientes sucesiones, decir si es convergente o divergente, creciente o decreciente:

U_n={(n^2-1)/(n-2)} n>4

U_n={(5^2-1)/(5-2)}=24/3=8

U_n={(6^2-1)/(6-2)}=35/4=8.75

U_n={(7^2-1)/(7-2)}=48/5=9.6

Entonces decimos que la sucesión es acotada inferiormente, y que la cota inferior es 8, también es creciente y por lo tanto monótona.

FASE 2

U_n={(〖3n〗^2-1)/(3n-〖6n〗^2 )}n≥1

U_n={(〖3(1)〗^2-1)/(3(1)-〖6(1)〗^2 )}=(-2)/3

U_n={(〖3(2)〗^2-1)/(3(2)-〖6(2)〗^2 )}=(-11)/18

U_n={(〖3(3)〗^2-1)/(3(3)-〖6(3)〗^2 )}=(-26)/45

U_n=(-2)/3 cota superior

La sucesión es acotada superiormente y es decreciente por lo tanto es monótona.

U_n={(〖3n〗^2-1)/n^2 }n≤1<5

U_n={(〖3(1)〗^2-1)/〖(1)〗^2 }=2/1=2

U_n={(〖3(2)〗^2-1)/〖(2)〗^2 }=11/4=2.75

U_n={(〖3(3)〗^2-1)/〖(3)〗^2 }=26/9=2.88

U_n={(〖3(4)〗^2-1)/〖(4)〗^2 }=47/16=2.93

La sucesión es acotada inferiormente en 2, y es creciente porque cada término es mayor al anterior

PROGRESIONES

Un embalse tiene el primer día del mes septiembre 200.000 litros de agua y recibe durante el mes, todos los días 3.000 litros de agua. ¿Cuántos litros de agua tendrá el día 20?

U_1=200.000

n=20

d=3.000

U_n= u_1+(n-1)*d

U_20= 200.000+(20-1)*3.000

U_20= 200.000+57.000=257.000

El embalse tendrá el día 20 “257.000” litros de agua.

Una empresa le ofrece en alquiler a un ingeniero contratista una retro excavadora así: debe pagar $10.000 el primer día, $20.000 el segundo día, $30.000 el tercer día, $40.000 el cuarto día y así sucesivamente. Éste a su vez ofrece trabajar para la empresa a cambio del pago del alquiler, así:

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