Sucesiones Y Progresiones

DESARROLLO

FASE 1

Hallar los 6 primeros términos de la siguiente sucesión:

U_n= (n-1)^(n-2) n ≥ 2

Se reemplaza la n por los números del 2 en adelante:

U_(n=2)= (2-1)^(2-2) = 1^0 =1, primer término.

U_(n=3)= (3-1)^(3-2) = 2^1 =2, segundo término.

U_(n=4)= (4-1)^(4-2) = 3^2 =9, tercer término.

U_(n=5)= (5-1)^(5-2) = 4^3 =64, cuarto término.

U_(n=6)= (6-1)^(6-2) = 5^4 =625, quinto término.

U_(n=7)= (7-1)^(7-2) = 6^5 =7776, sexto término.

U_n= {1,2,9,64,625,7776,…} R/.

V_n= (3n/(n+1)) n ≥ 1

Se reemplaza la n por los números del 1 en adelante:

V_(n=1)= ((3(1))/(1+1)) = 3/2 , primer término.

V_(n=2)= ((3(2))/(2+1)) = 6/3 =3 , segundo término.

V_(n=3)= ((3(3))/(3+1)) = 9/4 , tercer término.

V_(n=4)= ((3(4))/(4+1)) = 12/5 , cuarto término.

V_(n=5)= ((3(5))/(5+1)) = 15/6 = 5/3 , quinto término.

V_(n=6)= ((3(6))/(6+1)) = 18/7 , sexto término.

V_n= {3/2,3,9/4,12/5,5/3,18/7,…} R/.

Identificar el término general dados el primer término y la relación de recurrencia.

U_(0 )= -1; 〖U_n=U〗_(n-1) - 3

Partiendo del primer término, se va construyendo uno a uno los demás.

U_(0 )= -1 primer término.

Para los siguientes términos utilizamos la recurrencia. U_(n-1) - 3

U_(1 )= U_0 – 3 = -1-3 = -4

U_2= U_1 – 3 = -4-3 = -7

U_(3 )= U_2 – 3 = -7-3 = -10

U_(4 )= U_3 – 3 = -10-3 = -13

U_(5 )= U_4 – 3 = -13-3 = -16

Los primeros términos:

U_(0 )= {-1,-4,-7,-10,-13,-16,…}

Identificando el término general:

U_0 = -1+(-3*0)= -1

U_1= U_0 -3= -1+(-3*1)=-4

U_2= U_1 -3= -1+(-3*2)=-7

U_3= U_2 -3= -1+(-3*3)=-10

U_4= U_3 -3= -1+(-3*4)=-13

U_5= U_4 -3= -1+(-3*5)=-16

Término General:

U_n= -1+(-3n)

U_n= -3n-1 R/.

U_(0 )= -1; U_n=U_(n-1)/3

Partiendo del primer término, se va construyendo uno a uno los demás.

U_(0 )= -1 primer término.

Para los siguientes términos utilizamos la recurrencia. U_n=U_(n-1)/3

U_1= U_0/3=(-1)/3=-1/3

U_2= U_1/3=(-1/3)/3=-1/3*1/3=-1/9

U_3= U_2/3=(-1/9)/3=-1/9*1/3=-1/27

U_4= U_3/3=(-1/27)/3=-1/27*1/3=-1/81

Los primeros términos:

U_(0 )= {-1,-1/3,-1/9,-1/27,-1/81 …}

Identificando el término general:

U_0 =(-1)/3^0 =(-1)/1=-1

U_1 =U_0/3=(-1)/3^1 =-1/3

U_2 =U_1/3=(-1)/3^2 =-1/9

U_3 =U_2/3=(-1)/3^3 =-1/27

U_4 =U_3/3=(-1)/3^3 =-1/27

Término General:

U_n=(-1)/3^n R/.

Sucesiones monótonas.

Demostrar que W_n={n/(2n+1)} es estrictamente creciente.

Para que sea estrictamente creciente debe ser: W_(n+1)>W_n

(n+1)/(2(n+1)+1)-n/(2n+1)=(n+1)/(2n+3)-n/(2n+1)=((n+1)(2n+1)-n(2n+3))/((2n+3)(2n+1))

((2n^2+3n+1)-(2n^2+3n))/((2n+3)(2n+1))=(2n^2+3n+1-2n^2-3n)/((2n+3)(2n+1))=1/((2n+3)(2n+1))

El término, 1/((2n+3)(2n+1)) siempre será positivo, ahora probamos con la sucesión principal reemplazando la n.

W_(n=1)={1/(2(1)+1)}=1/3

W_(n=2)={2/(2(2)+1)}=2/5

W_(n=3)={3/(2(3)+1)}=3/7

W_(n=4)={4/(2(4)+1)}=4/9

Podemos concluir que W_n={n/(2n+1)} es estrictamente creciente ya que siempre W_(n+1)>W_n. R/.

Demostrar que X_n=(1/n^2 ), es estrictamente decreciente.

Para que sea estrictamente creciente debe ser: X_(n+1)<X_n

1/〖(n+1)〗^2 -1/n^2 =(n^2-(〖n+1)〗^2)/((〖n+1)〗^2 n^2 )=(n^2-(n^2+2n+1))/((〖n+1)〗^2 n^2 )=(n^2-n^2-2n-1))/((〖n+1)〗^2 n^2 )

=(-2n-1))/((〖n+1)〗^2 n^2 )

El término, (-2n-1))/((〖n+1)〗^2 n^2 ) siempre será negativo, ahora probamos con la sucesión principal reemplazando la n.

X_(n=1)=(1/1^2 )=1/1=1

X_(n=2)=(1/2^2 )=1/4

X_(n=3)=(1/3^2 )=1/9

X_(n=4)=(1/4^2 )=1/16

Podemos concluir que X_n={1/n^2 } es estrictamente decreciente ya que siempre W_(n+1)<W_n. R/.

Sucesiones acotadas

Hallar la mínima cota superior de la sucesión: V_n=((2n+1)/n), n≥1.

Para toda cota superior C de V_n sea M una cota superior, si se cumple que M<C, entonces M es la minima cota superior de V_n.

V_n=((2n+1)/n)

V_(n=1)=((2(1)+1)/1)=3/1=3

V_(n=2)=((2(2)+1)/2)=5/2

V_(n=3)=((2(3)+1)/3)=7/3

V_(n=4)=((2(4)+1)/4)=9/4

V_n={3,5/2,7/3 ,9/4,… }

Se observa que los términos van descendiendo. Entonces la mínima cota superior M=3 R/.

FASE 2

Determinar si es acotada y hallar la cota superior e inferior,:

V_n= (n^2/(1+3n^2 )) n ≥ 2

Se reemplaza la n por los números del 2 en adelante:

V_2= (2^2/(1+3(2^2)))= 4/13

V_3= (3^2/(1+3(3^2)))=9/28

V_4= (4^2/(1+3(4^2))) = 16/49

V_5= (5^2/(1+3〖(5〗^2)))= 25/76

La sucesión crece por lo tanto la cota inferior es 4/13, y la sucesión tiende a 0.33 a medida que n aumenta, siendo esta la cota superior.

Es una sucesión acotada; 4/13≤V_n<0.333 R/.

Determinar las cotas superior e inferior de:

Y_n= n/2^n n≥1

Y_1= 1/2^1 = 1/2

Y_2= 2/2^2 = 2/4

Y_3= 3/2^3 = 3/8

Y_4= 4/2^4 = 4/16

Y_10= 10/2^10 = 10/1024

La sucesión es decreciente por lo tanto la cota superior es 1/2 y la sucesión tiende a 0 medida que n aumenta, siendo esta la cota inferior.

Es una sucesión acotada; 0<Y_n≤1/2 R/.

Sucesiones Convergentes.

Demostrar que la sucesión V_n= (2n/(1+n)) es convergente y a qué converge.

V_1= ((2(1))/(1+1)) = 2/2

V_2= ((2(2))/(1+2)) = 4/3

V_3= ((2(3))/(1+3)) = 6/4

V_4= ((2(4))/(1+4)) = 8/5

V_10= ((2(10))/(1+10)) = 20/11

La sucesión es creciente y es convergente, converge a 2, siendo este su límite. R/.

Demuestre

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