Quinto Postulado De Euclides

Euclides de Alejandría.

Fue un matemático griego que vivió sobre el 300 a.C. Se conoce poco de su vida y de hecho una de las hipótesis que se barajan es que ni siquiera existió como se le conoce actualmente.

Los Elementos.

Es uno de los libros más importantes e influyentes de la historia de las Matemáticas (sino el que más). La obra se divide en XIII libros o capítulos que incluyen 132 definiciones, 5 axiomas, 5 postulados y cerca de 500 proposiciones y trata temas de álgebra, geometría elemental del plano y del espacio y teoría de números.

Un postulado es una proposición cuya verdad se admite sin pruebas y que es necesaria para servir de base en ulteriores razonamientos.

Los postulados de Euclides son:

1. Desde cualquier punto se puede trazar una recta a cualquier otro punto.

2. Toda recta se puede prolongar indefinidamente.

3. Con cualquier centro y cualquier distancia se puede trazar un círculo.

4. Todos los ángulos rectos son iguales.

5. Si una recta, cortando a otras dos, forma los ángulos internos a una misma parte menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán de la parte en que los dos ángulos son menores que dos rectos.

En este proyecto nos enfocaremos en el Quinto Postulado de Euclides.

Desarrollo.

El Quinto Postulado de Euclides dice:

“Si una recta al cortar a otras dos formas ángulos internos menores a un ángulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos”

A primera vista esto es evidente, pero durante siglos se mantuvo una pregunta en el aire: ¿era el quinto postulado realmente una verdad evidente (un axioma) o podía ser deducido del resto de postulados previos? Sin embargo a lo largo de los siglos los intentos de demostración no tuvieron éxito.

Todo parece indicar que el Quinto postulado es un axioma no deducible. Parece indicar la imposibilidad de demostrar que dos rectas paralelas no se cortarían nunca.

¿Cómo podemos demostrar que las rectas nunca se cortarán en su prolongación infinita?

Gauss le dio la vuelta al problema pensando que podrían existir geometrías donde el quinto postulado no fuera cierto. Hasta aquella fecha, incluyendo la época de Gauss, pensar en otro tipo de geometrías no tenía sentido. La geometría euclidiana era la única verdadera. Se podían construir rectas paralelas a otras siguiendo la definición del quinto postulado. Pero Gauss pensaba en la esfera (a la sazón trabajó como topógrafo) y en la posibilidad de una geometría esférica que cumplía todos los axiomas euclidianos menos el quinto postulado.

Geometría no Euclidiana.

Se produjo en el siglo XIX, que negaba el Quinto Postulado.

Se puede negar de dos formas:

• Por un punto exterior a una recta no

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