Razonamientos geométricos según el modelo de los Van Hiele

Planteamiento del problema

        Como ya es de conocimiento público, Chile tiene un problema en su educación, está demostrado que la educación chilena en las pruebas internacionales tiene muy malos resultados, en donde ni los mejores alumnos de nuestro país han logrado estar en un alto nivel, esto es debido a un mal manejo de las habilidades que debieran tener adquiridas los estudiantes, pero la mayor gravedad, es que los profesionales de la educación no manejan las habilidades que debieran tener los estudiantes para poder mejorar sus niveles de razonamientos.

        Una de las unidades con menores porcentajes de logro es la GEOMETRÍA, en donde en las evaluaciones nacionales “Simce” e internacionales como “PISA” los estudiantes tienen un gran problema con las preguntas del eje de geometría.

Estas últimas evaluaciones observadas nos han dado claros indicios que nuestros estudiantes de octavo año básico están logrando solamente resolver preguntas geométricas en el primer nivel de razonamientos de los Van Hiele, en donde en muy pocas oportunidades llegando al segundo nivel.

Debido a esto, hace ya muchos años los esposos Van Hiele empezaron a investigar sobre los procesos de aprendizaje de la geometría, lo cual les llevó a formular el modelo de razonamiento geométrico de Van Hiele, en el cual se plantea la existencia de diversos niveles de razonamiento.

Los Van Hiele sugieren la existencia de cinco niveles de razonamientos; Reconocimiento; Análisis; Clasificación; Deducción formal; Rigor, Van Hiele (1957), (1986)

¿Hasta qué nivel de razonamiento geométrico tendría que logran adquirir un profesor con mención en matemática?

(Algunas investigaciones realizadas en los últimos años para analizar la coherencia interna de los niveles Van Hiele han puesto de relieve una falta de consistencia del quinto nivel respecto de los anteriores (Gutierrez, Jaime, 1987 y Mayberry, 1983). Estos datos, unidos a la realidad de que el quinto nivel sería difícilmente alcanzable fuera de los últimos cursos de una facultad de matemática.) 

Como la investigación estará basada en los profesores básicos con mención en matemática, los niveles que se intentarán buscar son desde el nivel primero al cuarto, lo que nos puede hacernos pregunta.

¿Cómo influirá en los profesores básicos con mención en matemática que actualmente se encuentran en servicio, el ser capacitado en la enseñanza de la geometría con el modelo de razonamiento de los Van Hiele?

Objetivo General:

• Analizar los niveles de razonamientos geométricos según el modelo de los Van Hiele, en un profesor en servicio del segundo ciclo básico con mención en matemática y observar los avances luego de haber sido capacitados en el modelo.

Objetivos Específicos:

• Reconocer los niveles de razonamiento geométricos de los Van Hiele del profesor
• Intervenir al profesor por medio de capacitaciones según los niveles de razonamiento geométricos de los Van Hiele
• Evaluar a los estudiantes de un curso en donde el profesor realice clases
• Evaluar las competencias adquiridas por el profesor, luego de la capacitación
• Evaluar las competencias adquiridas por los alumnos luego de haber sido capacitado su profesor.

Marco teórico

En esta oportunidad no se intentará definir en profundidad el modelo de razonamiento de los Van Hiele, ya que existen varias publicaciones que se han encargado de aquello, tales como Hershkowitz (1990) y Clements, Battista (1992), sino que daremos una visión más general del modelo de razonamiento de los Van Hiele centrándonos con más detalles en los elementos que están más relacionados con la investigación.

Los Van Hiele sugieren la existencia de cinco niveles de razonamiento. Las descripciones que presentamos a continuación son una síntesis de escritos de los propios esposos Van Hiele y de otros autores posteriores que han investigado sobre las características de los niveles: Burger, Shaughnessy (1986); Crowley (1987); Fuys, Geddes, Tischler (1988); Jaime, Gutiérrez (1990), Van Hiele (1957), (1986); Van Hiele-Geldof (1957).

Nivel 1 (Reconocimiento): El razonamiento geométrico de este nivel se caracteriza porque los estudiantes:

• Usan propiedades imprecisas de las figuras geométricas para compararlas, ordenarlas. describirlas o  identificarlas.
• Hacen referencia a prototipos visuales para caracterizar figuras.
• Perciben las figuras geométricas en su totalidad, de manera global, como unidades. Los estudiantes se limitan a describir el aspecto físico de las figuras.
• Al identificar o describir figuras, incluyen atributos irrelevantes, normalmente de tipo físico o visual (por ej., la orientación en el papel o el tamaño).
• Pueden aprender vocabulario geométrico, identificar formas determinadas y, dada una figura, pueden reproducirla (por ejemplo dándoles un geoplano o una hoja de papel, los estudiantes podrían construir o dibujar las figuras).
• Perciben las figuras como objetos individuales, es decir que los estudiantes no son capaces de generalizar las características que reconocen en una figura a otras de su misma clase.
• Comparan y clasifican figuras geométricas basándose en su apariencia global. Por ejemplo, suelen utilizar expresiones como "... se parece a ...", "... tiene la forma de ...", "... es como ...", etc.
• No reconocen explícitamente como tales las propiedades Matemáticas de las figuras: Aunque los estudiantes de este nivel pueden reconocer algunas propiedades o elementos de una figura, éstas no juegan un papel apreciable en el reconocimiento de dicha figura.

Identifican partes de una figura, pero:

a) No analizan una figura en términos de sus componentes.

b) No piensan en las propiedades como características de una clase de figuras.

c) No hacen generalizaciones sobre formas ni usan un lenguaje apropiado.

Nivel 2 (Análisis): El razonamiento geométrico de este nivel se caracteriza porque los estudiantes:

• Son conscientes de que las figuras geométricas están formadas por partes y de que están dotadas de propiedades matemáticas.
• Pueden describir sus partes y enunciar sus propiedades, siempre de manera informal, utilizando vocabulario apropiado para componentes y relaciones (por ejemplo, "lados opuestos", "los ángulos correspondientes son iguales", "las diagonales se cortan en el punto medio", etc.).
• Cuando se les pide que definan una figura, recitan una lista de propiedades necesarias para identificar la figura, en vez de determinar propiedades necesarias y suficientes.
• Comparan figuras mediante el uso explícito de propiedades de sus componentes.
• Rechazan las definiciones dadas por el libro (o el profesor) en favor de las definiciones propias. No comprenden la necesidad ni la misión de las definiciones.
• Reconocen las propiedades Matemáticas mediante la observación de las figuras y sus elementos. También pueden deducir propiedades generalizándolas a partir de la experimentación.
• Al comprobar la validez de una afirmación, tratan la Geometría como si fuera una ciencia experimental: Observan una variedad de figuras y sacan conclusiones generales sobre ellas.
• Después de utilizar varias veces un tipo de ejemplos con una figura, pueden hacer generalizaciones a la clase de figuras en cuestión.
• No son capaces de relacionar unas propiedades con otras, por lo que no pueden hacer clasificaciones lógicas de figuras basándose en sus elementos o propiedades.
• No son capaces de deducir unas propiedades de otras, porque perciben cada una de forma aislada y sin relación con las demás.
• Todavía no pueden explicar las relaciones entre las propiedades, no ven las relaciones lógicas entre clases de figuras.
• Muestran una ausencia explícita de comprensión de qué es una demostración matemática.
• No admiten la inclusión de clases entre diversas familias de figuras, por ejemplo de cuadriláteros.

Nivel 3 (Clasificación): El razonamiento geométrico de este nivel se caracteriza porque los  estudiantes:

• Comienzan a desarrollar su capacidad de razonamiento matemático: Son capaces de reconocer que unas propiedades se deducen de otras y de deducir esas implicaciones (de un solo paso). Sin embargo, no comprenden el significado de la deducción como un todo ni el papel de los axiomas.
• Comprenden los sucesivos pasos individuales de un razonamiento lógico formal, pero no entienden la estructura de una demostración. Pueden entender una demostración explicada por el profesor o el libro de texto, pero no son capaces de construirla por sí mismos. Tampoco ven cómo podría alterarse el orden lógico de una demostración ni saben cómo construir una demostración a partir de premisa diferentes de las que han visto.
• Saben cómo razonar de acuerdo con un sistema lógico deductivo, pero esto no es equivalente a razonar con la fuerza de la lógica formal. En particular, no distinguen con claridad una implicación (p 3 q ) de su recíproca (q -t p ).
• Son capaces de realizar razonamientos deductivos informales, usando implícitamente reglas lógicas, por ej. la regla de la cadena (si p + q y q + r entonces p -t r ).
• Pueden comprender demostraciones formales cuando se las explica el profesor o el libro de texto.
• Utilizan las representaciones físicas de las figuras más como una forma de verificar sus deducciones que como un medio para realizarlas.
• Pueden clasificar lógicamente diferentes familias de figuras a partir de propiedades suyas ya conocidas formuladas con precisión matemática. No obstante, sus razonamientos lógicos se siguen apoyando en la manipulación y sus demostraciones son de tipo informal.
• Comprenden el significado de "al menos un", "todo", etc.
• Comprenden el papel de las definiciones y pueden dar definiciones matemáticamente correctas.

Son capaces de:

a) Identificar conjuntos diferentes de propiedades que caracterizan a una clase de figuras y comprobar su suficiencia.

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