Representación grafica de la recta numérica

UNIDAD I

NUMEROS REALES

1.1.- La recta numérica

Una recta numérica representada por dos flechas en los extremos, es una recta infinitamente larga y es una parte esencial de las matemáticas básicas.

Los puntos en una recta numérica corresponden a un número real específico.

Todos los puntos están marcados a una distancia específica del origen que es 0, el cual puede ser elegido arbitrariamente.

La recta numérica es una herramienta muy útil para entender los conceptos de números enteros con signo y números reales, así como su suma y resta.

Representación grafica de la recta numérica.

1.2.-Los números reales

Los números que pueden representarse por notación decimal se llaman números reales. En palabras más simples, todos esos números que perduran son reales

Clasificación:

Números naturales

Números enteros

Números racionales-fraccionarios

Números irracionales-raíces

1.3.- Propiedades de los números reales

Cerradura :a+b € R a(1) € R

Connotativa :a+b=b+a a*b=b*a

Asociativa :a+(b+c)=(a+b)c a b*c)=a*b)c

Elemento neutro: a+0=a a*1= a

Inverso: a+(0)=0 a 1/a =1

Distributivo :a(b+c) ab+ac

Ejemplos:

Cerradura 3+5= 8 € R

2*5= 10 € R

Connotativa: (2) (1/5)= (1/3) (2)

Asociativa: 3+ (3+4)= (3+3)+4

5(3*2)= (5*3)2

1.3.1.- Tricotomía

La tricotomía denota las características de una relación ordenada entre dos números. La Ley de la tricotomía es una proclamación formal de una propiedad que para muchos de los estudiantes es bastante obvia, al hacer comparaciones entre dos números. De acuerdo con la propiedad de la Tricotomía, una de las relaciones tiene: x> y, x = y o x <y. Es decir, un número real puede ser positivo, negativo o cero. En términos matemáticos, se puede denotar como: Esta propiedad de la Tricotomía, en la lógica estándar, se utiliza para la evaluación de los números reales que abarcan sus subconjuntos de los Números Reales. Con respecto a los Números Reales, puede ser reformulada como: Por cada dos Números Reales x e y, de cada tres relaciones, para una de las relaciones es cierto que: a> b, a = b o a <b.

1.3.2.- Transitividad

La transitividad es una de las propiedades más necesarias de los números reales. En general, la propiedad de la transitividad tiene su aplicación en dos categorías: La Transitividad de la igualdad y la Transitividad de la desigualdad. De acuerdo con la transitividad de la igualdad, si dos números son equivalentes al mismo número, entonces todos los números son equivalentes entre sí. Es decir, si a = b y b = c entonces a = c.

La Transitividad de la desigualdad trata con cuatro subpartes correspondientes a; mayor que, menor que, mayor o igual que y menor o igual que las desigualdades.

Si a, b, c son tres números reales y

1). Si a <b y b <c, entonces en ese caso, a < c.

2). Si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c.

3). Si a> b y b> c, entonces a > c.

4). Si a ≥ b y b ≥ c, entonces b ≥ c.

1.3.3. – Densidad

La densidad es una propiedad fundamental de los números reales, según la cual los números reales son densos en naturaleza, o en términos simples, entre dos números reales existe un tercer número real, en todos los casos.

1.3.4.- Axioma del Supremo

Intervalo (a, b) a<b

Máximo decimos que un intervalo, posee un máximo si tiene una cota superior cerrada.

Mínimo decimos que un intervalo posee un mínimo si tiene una cota inferior cerrada.

Supremo un intervalo tiene un supremo definido como el valor menor del intervalo abierto

Axioma del supremo todo conjunto no vacio y acotado superiormente posee un supremo.

MAXIMO MINIMO SUPREMO INFIMO

(3,5) - - 5 3

[3,5) - 3 5 3

(3,5] 5 - 5 3

[3,5] 5 3 5 3

(-∞,5) - - 5 -

1.4.- Intervalo y su representación mediante desigualdades

La noción de intervalo es un sistema de escritura de los conjuntos numéricos en el plano de coordenadas.

El intervalo es en general, utilizado para representar un grupo de números a lo largo de un eje determinado.

Estos intervalos son típicamente representados por las desigualdades.

Ejemplo, considere todos los números mayores que 6, con el fin de representar este conjunto de números, podemos escribir la desigualdad como x> 6, donde x es cualquier número en este conjunto.

Sin embargo, si quiere representar solamente la notación de intervalo, se escribe

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