Resolución de ecuaciones diferenciales parciales

Tarea 3

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Resolución de ecuaciones diferenciales parciales[pic 2]

[pic 3]

        Autor:        Esteban Martínez M.

Profesor:        Claudio Muñoz C. Héctor Olivero Q.

        Auxiliares:        Dasla Pando F.

Edgardo Matthies

Matías Rojas

Fecha de realización: 5 de junio de 2019

Fecha de entrega: 5 de junio de 2019

Santiago, Chile

Índice de Contenidos        I

Índice de Contenidos

1. Ecuación de calor con condiciones de borde Dirichlet        1

1. Separación de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        1
2. Condiciones de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        2
3. Condición inicial        . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        4
4. Implementación de algoritmo        . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        4

1. Ecuaciones de ondas con condiciones de borde Neumann        12

1. Separación de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        12
2. Condiciones de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        13
3. Condición inicial        . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        13
4. Cálculos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        14

1. conclusión        20

1. Ecuación de calor con condiciones de borde Dirichlet

La función de calor u = u(t,x) es la temperatura en el tiempo t y en la posición x en la una barra,dada u0 = u0(x) función definicda en [0,1] que satisface u0(0) = u0(1) = 0, se tiene que:

        [pic 4]        (1.1)

        u(t = 0,x) = u0(x),x ∈ [0,1]        (1.2)

        u(t,x = 0) = u(t,x = 1) = 0.        (1.3)

1. Separación de variables

Primero se utiliza separación de variables, buscando soluciones no triviales para u de la forma:

        U(t,x) = T(t)X(x).        (1.4)

Para determinar T(t) y X(x), se reemplaza (1.4) en (1.1):

        T(t)0X(x) = T(t)X00(x),0 < x < 1,t > 0        (1.5)

Ahora se divide multiplica en ambos lados de la ecuación por X[pic 5](x1)T(t):

        T(t)0        X00(x)

        =        ,0 < x < 1,t > 0[pic 6]

        T(t)        X(x)

Se requieren soluciones no triviales, por lo que X(x0) 6= 0 para algún x0 ∈ (0,1) y T(t0) 6= 0 para t0 > 0. En consecuencia, si ahora se escoge cualquier par (t,x) tal que

X(x) 6= 0 y T(t) 6= 0, se tiene:

        T(t)0        X00(x)

        =        = λ        (1.6)[pic 7]

        T(t)        X(x)

De este modo, se deduce que T(t) y X(x) satisfacen las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias:

para una constante C no nula ya que buscamos soluciones no triviales.

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