SOLUCION DEL TRABAJO DE LAS DIFERENTES MATRICES CON SUS PARTES

SOLUCION DEL TRABAJO DE LAS DIFERENTES MATRICES CON SUS PARTES.

1. Matriz Opuesta y Transpuesta.
2. Matriz Simétrica y Anti simétrica.
3. Matriz Conjugada.
4. Matriz Hermética y Anti hermética.
5. Matriz Diagonal y Escalar.
6. Matriz Triangular Superior e Inferior.
7. Matriz Ortogonal y Unitaria.
8. Matriz Indempotente e involutiva.
9. Matriz Nula e Inversa.

SOLUCION

1. Matriz Opuesta y Transpuesta:

*Una matriz opuesta se define como aquella matriz que se compone de sustituir cada uno de los elementos de una matriz dada por su opuesto.  

 De tal manera que sí tenemos una matriz dada a la opuesta de hacer la matriz -A, la cual se forma a partir de sustituir cada uno de los elementos de A multiplicado por -1, para formar su opuesto.  

Ejemplo:  

Dada la matriz A:  

A = | 2 3 |  

       | 4 5 |  

La matriz Opuesta de A es -A tal que:  

-A = | -2 -3 |  

        | -4 -5 |

*La matriz traspuesta de una matriz se denota por y se obtiene cambiando sus filas por columnas (o viceversa). Ejemplo: [pic 1]

Obsérvese, por ejemplo, que la primera fila de la matriz A es (1,0,4). Esta fila es la primera columna de su matriz traspuesta.

1. Matriz Simétrica y Anti simétrica:

Definición de matriz simétrica

Sea A una matriz cuadrada de dimensión mxm. Entonces, A es simétrica si igual a su matriz traspuesta:

Ejemplo

Ejemplo de matriz simétrica de dimensión 3:

[pic 2]

Propiedades de las matrices simétricas

• La inversa de una matriz simétrica regular es simétrica.
• La matriz adjunta de una matriz simétrica es también simétrica.
• La suma de matrices simétricas es una matriz simétrica. El producto lo es si, y sólo si, también es conmutativo.
• Los auto valores (valores propios) de una matriz cuadrada, real y simétrica son reales.
• Auto vectores (vectores propios) de auto valores distintos de una matriz cuadrada y real son ortogonales.
• Una matriz cuadrada y real, A, es simétrica si, y sólo si, es diagonalizable mediante una matriz de paso ortogonal, Q. Es decir.

• Toda matriz cuadrada A cumple que A + AT es simétrica.

Definición de Matriz Anti simétrica:

Una Matriz Anti simétrica es aquella matriz cuadrada que es igual a su traspuesta cambiada de signo:

A es anti simétrica ⇔ A = -AT

Nota: recordemos que una matriz traspuesta es el resultado de intercambiar los valores de las filas por los de las columnas.

Ejemplos de Matriz Anti simétrica:

Veamos algunos ejemplos de matrices anti simétricas:

[pic 3]

Propiedades de la Matriz Anti simétrica:

Las matrices anti simétricas presentan las siguientes propiedades:

Son matrices cuadradas

Los valores de su diagonal principal son todos iguales a 0 

Toda matriz cuadrada se puede descomponer en la suma de una matriz simétrica y otra anti simétrica.

1. Matriz Conjugada:

Definición de Matriz Conjugada:

Una Matriz Conjugada es una matriz compleja (contiene números complejos) a la cual se ha cambiado de signo la parte compleja de cada elemento:

Sea Amxn = (aij) una matriz compleja →  es la matriz conjugada si  =() 

"Sea A una matriz compleja, entonces A es conjugada si cada elemento de A es conjugado.

Para tener claro el concepto de número conjugado veamos algunos ejemplos:

2 + 3i → su conjugado es 2 - 3i

-2 + 3i → su conjugado es -2 - 3i

1 - 2i → su conjugado es 1 + 2i

1 + 2i → su conjugado es 1 - 2i

Ejemplos de Matriz Conjugada:

Veamos algunos ejemplos de matrices conjugadas:

[pic 4]

Propiedades de la Matriz Conjugada:

Veamos algunas de las propiedades de las matrices conjugadas:

Sea A una matriz conjugada, entonces la conjugada de la conjugada es la misma matriz.

1. Matriz Hermética y Anti hermética:

Definición de Matriz Hermitiana:

Una Matriz Hermitiana (también llamada Matriz Hermética) es una matriz compleja cuyo conjugado traspuesto es igual a la misma matriz.

Notas: 

Matriz Compleja: es aquella matriz en la que alguno de sus elementos es un número compleja.

Matriz Conjugada: es aquella matriz en la que la parte compleja está cambiada de signo (se representa con una barra horizontal superior)

Matriz Traspuesta: es aquella en la que se intercambian las filas y las columnas 

Nota: las matrices hermitianas son matrices cuadradas.

Ejemplos de Matriz Hermitiana:

Veamos algunos ejemplos de matrices hermitianas:

[pic 5]

Propiedades de la Matriz Hermitiana:

Veamos algunas de las propiedades de las matrices hermitianas:

La inversa de una matriz hermitiana también es hermitiana

Los elementos de la diagonal de una matriz hermitiana son siempre números reales

Los determinantes de las matrices hermitianas son números reales.

Definición de Matriz Antihermitiana:

Una Matriz Antihermitiana  es una matriz cuadrada y compleja cuyo conjugado traspuesto es igual a la misma matriz pero cambiada de signo:

 A es una matriz antihermitiana si A* = -A , donde A* es el conjugado traspuesto

Notas: 

Matriz Compleja: es aquella matriz en la que alguno de sus elementos es un número compleja.

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