Series temporales ARMA

ECUACIONES DE MODELOS ARMA CON OPERADORES

1. Defina con el operador L, si el caso lo amerita y responda en cada uno de los modelos AR(p), MA(q) y ARMA(p,q) que se indican para diferentes p y q de los modelos AR y MA respectivamente. Observe detenidamente los ejemplos, en caso de faltar o sobrar elementos de escritura añada o elimine.

Modelos o Procesos  ARMA(p,q)

¿Qué es el Modelo  ARMA(0,0) ≡ AR(0) Y MA(0)

Se define que el proceso autorregresivo AR(p) tiene grado 0 y las medias también tienen grado 0 es decir MA(0) por lo que se puede decir que tiene ruido blanco y no es un camino aleatorio,a mas de esto es estacionaria.

Modelo  ARMA(p,0) ≡ AR(p) ¿Qué define? Escriba la ecuación del modelo

El proceso autorregresivo de orden p, expresa  en función de su pasado hasta el retardo t−p y una innovación contemporánea, se define que AR(p) o llamado proceso autorregresivo y la media móvil MA(0) tiene grado 0,por  lo cual se despeja de la forma original es decir que el proceso autorregresivo es.[pic 1]

[pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

En términos de operador de retardo seria

 [pic 6][pic 7]

Donde  es constante,  es el ruido blanco.[pic 8][pic 9]

Modelo  ARMA(0,q) ≡ MA(q) ¿Qué define? Escriba la ecuación del modelo

El modelo de medias móviles de orden finito q, MA(q), es una aproximación natural al modelo lineal general ,se obtiene un modelo finito por el simple procedimiento de truncar el modelo de medias móviles de orden infinito, se define como la media móvil es MA(q) y donde AR(p) de orden p=0, que se lo representa como AR(0) para lo cual se puede  generalizarse como solo la aplicación de la fórmula de las medias móviles:

[pic 10]

Modelo  ARMA(1,0) ≡ AR(1)  ¿Por qué?

Porque según la teoría nos dice que las medias móviles representado por MA(q) que quiere decir medias móviles de grado q ,en este caso valen 0 en su grado, por consiguiente se procede a aplicar la fórmula de proceso autorregresivo con grado 1.

 [pic 11]

Modelo  ARMA(0,1) ≡ MA(1)  ¿Por qué?

porque según la teoría nos dice que el proceso autorregresivo tiene en este caso grado 0, y las medias móviles grado 1, por lo cual se procede a aplicar la formula de las medias móviles, lo que determina el valor de   en el momento t en función de la innovación contemporánea y su primer retardo.[pic 12]

[pic 13]

Donde  es constante y   el proceso de media movil.[pic 14][pic 15]

Modelo  ARMA(2,0) ≡ AR(2)  ¿Por qué?

En este caso el proceso autorregresivo toma grado 2, de la cual las medias móviles grado 0, para lo cual en base a la formula de grado uno se aplica un grado mas dando la siguiente formula:

  [pic 16]

Que es igual a él polinomio autorregresivo

 [pic 17]

Modelo  ARMA(0,2) ≡ MA(2)  ¿Por qué?

Porque considerando el modelo de medias de orden 2 se puede decir que este proceso es estacionario para cualquier valor  , , donde MA(2) es una función truncada en el retardo 2 por lo que los coeficientes de autocorrelación, ρ1, ρ2, pueden ser positivos, negativos, o de distinto signo respecto de los valores de los parámetros autorregresivos.[pic 18][pic 19]

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