Sistemas Digitales - Algebra De Boole

SISTEMAS DIGITALES

PROPIEDADES Y TEOREMAS

PROPIEDADES

En el OR: EN el AND: En el NOT:

1+1=1 1.1=1 _

1+0=1 1.0=0 0=1

0+1=1 0.1=1 _

0+0=0 0.0=1 1=0

TEOREMAS

Regla del cero y la unidad

x + 0 = x x .1 =x

x+ 1 = 1 x. 0 = 0

Idempotencia o potencias iguales.

x+ x = x x. x = x

Complementación

x ̅+x=1 x ̅.x=0

Involución

-(-x)=x

Conmutatividad

Conmutatividad del + Conmutatividad del .

x + y= y + x x.y=y.x

Asociatividad

Asociatividad del + Asociatividad del .

x + (y + z)=(x + y) + z x.(y.z)=(x.y).z

Distribuitividad

Distribuitividad del + Distribuitividad del .

x + (y.z) = (x + y).(x + z) x.(y + z) = (x.y) + z

Leyes de absorción

x.(x + y)=x x+x.y=x

x ̅.(x+y)=x.y x ̅+(x.y)=x+y

x ̅.(x+y)=x ̅.y x ̅+(x.y)=x ̅+y (x+y)(x+y ̅)=y (x.y)+(x.y ̅)=x

Teoremas de DeMorgan

(x.y) ̅=x ̅+y ̅ (x+y) ̅=x ̅.y ̅

X.Y=-(X+Y) X + Y = -(X.Y)

Teoremas generalizados de DeMorgan

(xy+zu) ̅=(x ̅+y ̅ ).(z ̅+u ̅)

((x+y).(z+u)) ̅=(x ̅.y ̅ )+(z ̅.u ̅)

INTERPRETACIÓN DE LAS REGLAS PRINCIPALES QUE ESTÉN LIGADAS CON EL SISTEMA DIGITAL DEL COMPUTADOR

TEOREMAS PRINCIPALES:

TEOREMAS PRINCIPALES OPERACIÓN ALGORITMO INTERPRETACIÓN

DUALIDAD Suma a+0=a Por el principio de dualidad una variable que tiene solo puede tomar un valor 0 o 1.

Producto a.1=a

INVERSO Suma a+a ̅=1 Del principio de dualidad se desprende que una variable solo puede tener un solo inverso según sea la operación.

Producto a.a ̅=0

IDEMPOTENCIA Suma a + a = a Un variable asociada con una operación, a la misma variable siempre tendrá el mismo valor

Producto a . a = a

LEYES DEMORGAN Suma (a+b) ̅=a ̅.b ̅ La inversa de una operación es otra operación. De la suma el producto y viceversa.

Producto (a.b) ̅=a ̅+b ̅

COMPLEMENTARIOS de 0 y 1 Suma ~ 0 = 1 El valor opuesto al cero es siempre el uno y viceversa.

Producto ~ 1 = 0

MODOS DE UTILIZAR LAS REGLAS PRINCIPALES

Principio de dualidad

El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores unión (suma lógica) con los de intersección (producto lógico), y de los 1 con los 0.

Además hay que cambiar cada variable por su negada. Esto causa confusión al aplicarlo en los teoremas básicos, pero es totalmente necesario para la correcta aplicación del principio de dualidad. Véase que esto no modifica la tabla adjunta.

Adición Producto

1

2

3

4

5

6

7

8

9

La forma de utilizar las reglas principales es en los circuitos lógicos integrados de un sistema digital computador mediante compuertas lógicas.

SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES

ALGEBRAICO:

Para la simplificación por este método no sólo bastará con conocer todas las propiedades y teoremas del álgebra de Boole, además se debe desarrollar una cierta habilidad lógico-matemática que se adquiere fundamentalmente con la experiencia.

Como ejemplo se simplificará la siguiente función:

F = A’C’ + ABC + BC’ + A’B’C + A’BC

F = A’C’ + BC’ + BC(A + A’) + A’C(B + B’)

Note que el término 5º se ha tomado dos veces, de acuerdo con la propiedad que dice que A + A´ = 1. Aplicando las propiedades del álgebra de Boole, queda

F = A’C’ + BC’ + BC + A’C

Repitiendo nuevamente el proceso,

F = A’( C’ + C) + B( C’ + C) = A’ + B

Mapa de Karnaugh:

Este método consiste en formar diagramas de 2n cuadros, siendo n el número de variables. Cada cuadro representa una de las diferentes combinaciones posibles y se disponen de tal forma que se puede pasar de un cuadro a otro en las direcciones horizontal

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