Sistemas dinámicos y de control

Lugar Geometrico De las Ra´        ´ıces y Respuesta en Frecuencia

Profesores: Neil Guerrero Y Alberto Sepulveda.

Monitor: Cristian Camilo Cifuentes Roman´

Sistemas Dinamicos Y Control´

Universidad Nacional De Colombia - Sede Manizales

Resumen—En esta gu´ ´ıa se presenta una descripcion´ general de la practica que consiste en el analisis de los´ sistemas por medio del Lugar Geometrico De Ra´ ´ıces y su respuesta en frecuencia (Margen de fase y Margen de Ganancia).

1. INTRODUCCION´

En la actualidad los sistemas de control sean por medio de software o hardware, son necesarios en los procesos de automatizacion donde constantemente se´ requiere de una correccion de diversos problemas para´ que el sistema realice las operaciones de una forma adecuada y segun lo deseado. Dependiendo de los´ requerimientos del sistema se pueden utilizar diversos tipos de controladores. Se piensa ahora en la accion´ mas basica de control, constituida por un ajuste de´ ganancia variable, el cual constituye la clave para el diseno por medio de la t˜ ecnica del lugar geom´ etrico´ de las ra´ıces, la cual es una herramienta de analisis´ teorico importante en la labor del ingeniero a la hora de´ analizar el comportamiento de un sistema. La respuesta en frecuencia es la respuesta en estado estable de un sistema a una entrada sinusoidal. En los metodos de´ respuesta en frecuencia, la frecuencia de la senal de˜ entrada se var´ıa en un cierto rango para estudiar la respuesta resultante. Existen varias metodolog´ıas que permiten realizar este tipo de analisis, en este laboratorio´ se explorara la tecnica mas conocida llamada diagramas´ de bode.

1. OBJETIVOS

II-A.        OBJETIVO GENERAL

- Comprender los conceptos relacionados con el comportamiento de los sistemas segun el LGR Y´ los estados de estabilidad segun su respuesta en´ frecuencia.

II-B.        OBJETIVOS ESPECIFICOS´

• Desarrollar calculos matem´ aticos para la interpre-´ tacion del comportamiento de cada sistema.´
• Comparar resultados de la respuesta de cada sistema mediante la variacion de sus par´        ametros.´

        III.        MARCO TEORICO´

III-A.        Lugar Geometrico De Ra´        ´ıces

La caracter´ıstica basica de la respuesta transitoria de´ un sistema en lazo cerrado se relaciona estrechamente con la ubicacion de los polos en lazo cerrado. Si el´ sistema tiene una ganancia de lazo variable, la ubicacion´ de los polos en lazo cerrado depende del valor de la ganancia de lazo elegida. Por tanto, es importante que el disenador conozca como se mueven los polos en lazo˜ cerrado en el plano s conforme varia la ganancia de lazo abierto (1). El analisis de sistemas a partir del lugar´ geometrico de las ra´ ´ıces, es una tecnica que permite´ predecir la ubicacion para los puntos soluci´ on de la´ ecuacion caracter´ ´ıstica (E.C) (o polos de la funcion de´ transferencia en lazo cerrado), con base unicamente en´ el previo conocimiento de los polos y los ceros de la funcion de transferencia de lazo abierto, junto con la´ variacion de alg´ un par´ ametro del sistema (en este caso´ la ganancia de lazo K).

III-A1. Construccion de LGR:´ Debido a que generar los lugares geometricos de las ra´ ´ıces usando MatLab es muy simple, se podr´ıa pensar que trazar los lugares geometricos de las ra´ ´ıces en forma manual es una perdida de tiempo y esfuerzo. Sin embargo, una buena forma de interpretar los lugares geometricos generados por la´ computadora es adquirir la experiencia trazandolos de forma manual, lo que ademas proporciona con mucha rapidez una idea global de los lugares geometricos. Este´ enfoque grafico ayudara a comprender mejor como se´ mueven los polos en lazo cerrado en el plano complejo conforme los polos y los ceros en lazo abierto se mueven. A continuacion se genera un LGR siguiendo los pasos´ mas importantes a tener en cuenta. Para este caso se desarrollara el analisis a partir del siguiente ejemplo. Sea´ la F.T en lazo abierto dada por:

        [pic 1]        (1)

1. Ubicacion de los Polos y ceros de G(s)H(s)´ los polos p(s) = 0 corresponden a los puntos donde K = 0.

Los ceros z(s) = 0 corresponden a los puntos donde K = 1.

En este caso ubicamos los polos y ceros dados por:

p1 = −1; p2 = −2; p3 = −3

1. Pertenencia del eje real al LGR: Un punto del eje real ∈ al LGR si a su derecha existen un numero impar de polos y ceros.

[pic 2]

Figura 1. Pertenencia al Eje Real

1. Calculo del numero de ramas: Si hay mas polos que ceros (P > Z) existen P ramas, o si hay mas ceros que polos (Z > P), entonces existen Z ramas. En este caso el numero de ramas esta dado por : (P > Z), P = 3; Tener en cuenta que: Las ramas del LGR nacen en un polo finito y terminan en un cero finito o infinito. As´ı pues entiendase´ rama como la trayectoria descrita por un polo hacia un cero, es decir el camino descrito por las posibles ubicaciones de los polos conforme varia la ganancia K. El LGR es simetrico con respecto´ al eje real (en el caso de existir polos y ceros complejos conjugados)
2. Calculo del numero de asintotas y su correspondiente angulo:

[pic 3] Habra tantas asintotas como diferencia entre´ polos y ceros:

Asinstotas = |P − Z|

Para este caso se tiene |3 − 0| = 3

        [pic 4] Los angulos de las asintotas se encuentran as´        ´ı:

[pic 5]

con m = 0,1,...,P −Z −1, En el ejemplo se tiene que:

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

1. Punto de Interseccion de las asintotas:´ Se calcula el punto de interseccion de las asintotas, o corte´ de las mismas con el eje real, unicamente cuando:´

[pic 9]

1. Punto de ruptura o separacion de las ramas:´ Es decir el punto donde se separan y tienden a seguir la trayectoria de las asintotas. Igualmente se calcula solo cuando:

[pic 10]

Para el ejemplo se tiene:

...