Solución de Triángulos Oblicuángulos

Tema:

Solución de Triángulos Oblicuángulos

Un triángulo oblicuángulo es aquel que no es recto ninguno de sus ángulos, por lo que no se puede resolver directamente por el teorema de Pitágoras, el triángulo oblicuángulo se resuelve por leyes de senos y de cosenos, así como el que la suma de todos los ángulos internos de un triángulo suman 180 grados.

LEY DE SENOS

Teoría:

La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.

Fórmula:

[pic 1] 

Ejemplos:        Encontrar ángulo  A

[pic 2][pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

Encontrar lado  a         [pic 6]

                                                       [pic 7]

                                                                 Encontrar lado  c

[pic 8]

[pic 9][pic 10]

Encontrar ángulo M[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

   Encontrar ángulo N                                 Encontrar lado  n

             [pic 15][pic 16]

       [pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

[pic 20]

Encontrar ángulo C

<42° + <75° +

<117 +

    [pic 21]

Encontrar lado  a                                         Encontrar lado  b      

   [pic 22]  [pic 23]

LEY DE COSENOS

Teoría:

La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluído son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse.

Fórmula:

  c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab cos C 

Ejemplos:

Encontrar lado  b[pic 24]

b2 = a2 + c2 – 2ac cos β

b2 = 52 + 82 – 2(5)(8) cos 77

89 – 80 cos 77° ≈ 71

b ≈ 71 ≈ 8.4

Encontrar ángulo α                                   Encontrar ángulo  γ                          

a2 = b2 + c2 – 2bc cos α        180 = β + α + γ

52 = 8.42 + 82 – 2(8.4)(8) cos α        γ = 180 – 77 – 35.4

25 = 70.56 + 64 – 134.4 cos α        γ = 67.6°

25 – 70.56 – 64 = 134.4 cos α

-.8152 = cos  α

 α = 35.4 °

Encontrar ángulo α

a2 = b2 + c2 – 2bc cos α[pic 25]

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