Solución de ejercicios de la regla de los factores generales de agrupación de términos

Caso I

Este es el primer caso y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos).

Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes. Ejemplo:

x^8 + x^2 y^2 - 2xy = xy(x + xy - 2)

a) Factor común monomio

Ejemplos descritos de factorización:

1. Descomponer en factores a^2 + 2a.

a^2 / a = a y 2a / a= 2, y tendremos a^2 + 2a = a(a+2)

2. Descomponer en factores 10b – 30 a b^2.

Los coeficientes 10 y 30 tienen factores comunes 2, 5 y 10. Tomamos 10 porque siempre se saca el mayor factor común. De las letras, el único factor común es b porque está en los 2 términos de la expresión dada y la tomamos con su menor exponente b.

El factor común es 10b. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro ponemos los cocientes de dividir 10b / 10b = 1 y -30ab^2 /10b = -3ab

y tendremos:

10b – 30a b^2 = 10b(1 – 3ab).

Ejercicios:

Factorar o descomponer en dos factores:

1) 3a^3 – a^2 = a^2 (3a-1)

2) 15c^3 d^2 + 60 c^2 d^3 = 15c^2 d^2 (c + 4d)

3) 34ax^2 + 51a^2 y – 68 a y^2 = 17a(2x^2 + 3ay - 4y^2 ).

En este ejemplo vemos que el factor común del coeficiente numérico es el 17, como sabemos que es el 17 dividiendo:

34 / 17 = 2 ; 51 / 17= 3 ; 68 / 17= 4, es decir tenemos que buscar un numero que sea divisible para todos los coeficientes numéricos.

Y en cuanto al coeficiente Literal el factor común es a debido a que es el menor exponente de dicho coeficiente Literal.

4) x – x^2 + x^3 – x^4 = x(1 – x + x^2 – x^3 )

5) 3a^2 b + 6ab – 5a^3 b^2 + 8a^2 bx +4ab^2 m = a( ab + 6b – 5a^2 b^2 + 8abx + 4b^2m)

Caso II

Factor común por agrupación de términos

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir:

ab + ac + bd + dc = (ab + ac) (bd + dc)

= a(b + c) + d(b + c)

= (a + d) (b + c)

Pasos para realizar el caso II (Factor común por agrupación de términos)

Los pasos para realizar este caso que es el factor común por agrupación de términos es:

1) Observar detenidamente el ejercicio en este caso vamos a poner como ejemplo el ejercicio anterior es decir: ab + ac + bd + dc.

2) Agrupar los términos de una manera que al realizar el ejercicio nos de cómo resultado un factor común le voy a demostrar con ejemplos:

ab + ac + bd + dc

agrupando los términos: (ab + ac) + (bd + dc)

aplicando lo del caso I a(b + c) + d(b + c) observemos en la parte sombreada con azul que se repite el mismo factor común (b + c)

es decir el ejercicio si se lo puede realizar es el caso II, si al agrupar los términos no se repiten los factores comunes no es el caso II y por ende no se puede realizar el ejercicio.

3) Una vez identificado que se trata de un factor común por agrupación de términos procedemos a colocar primero el coeficiente literal es decir las letras que están fuera de los factores comunes.

son las que están sombreada con rojo. a (b + c) + d (b+c)

por ultimo colocamos los factores comunes

dándonos como resultado (a+d) (b+c)

Agrupación de términos: Aquí se intenta agrupar los diferentes términos de una expresión para factorizar utilizando los diferentes métodos vistos. Para utilizar este método se debe tener en cuenta que la expresión debe tener un número de términos que al agruparlos deben quedar todos con la misma cantidad de términos. Ejemplo:

Resolviendo nos queda:

2ab + 2a - b - 2ac + c - 1

(2ab - 2ac + 2a) - (b - c + 1)

2a(b - c + 1) - (b - c + 1)

(b - c + 1) (2a - 1)

Ejemplos Descritos de factorización:

Descomponer : ax + bx + ay + by:

Los dos primeros términos tienen el factor común x y los dos últimos el factor común y. Agrupamos los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos en otro precedido del signo + porque el tercer término tiene el signo + y tendremos:

ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by)

= x(a + b) + y(a + b)

La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo con tal que los dos términos que se agrupan tengan algún factor común, y siempre que las cantidades que quedan dentro de los paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo, sean exactamente iguales. Si esto no es posible lograrlo la expresión dada no se puede descomponer por este método.

Así en el ejemplo anterior podemos agrupar el 1er y 3er. términos que tienen el factor común a y el 2do y 4to que tienen el factor común b y tendremos:

ax + bx + ay + by = (ax + ay) + (bx + by)

= a(x + y) + b (x + y)

= (a + b) (x + y)

Ejercicios:

1) a^2 x^2 – 3bx^2 + a^2 y^2 – 3by^2

(a^2 x^2 – 3bx^2 ) + (a^2 y^2 – 3by^2 )

x^2 (a^2 – 3b) + y^2 (x^2 + y^2 )

(a^2 – 3b) (x^2 + y^2 )

2) x^2 – a^2 + x – a^2 x

(x^2 + x) – (a^2 + a^2 x)

x(x + 1) – a^2 (1 + x)

(x + 1) (x – a^2 )

3) 4a^3 x – 4a^2 b + 3bm – 3amx

(4a^3 x – 3amx) – (4a^2 b – 3bm)

ax(4a^2 – 3m) – b (4a^2 – 3m)

(4a^2 – 3m ) (ax – b)

4) 2am – 2an + 2a – m + n – 1

(2am – 2an + 2a) – (m – n + 1)

2a(m – n + 1) – (m – n + 1)

(m – n + 1) (2a – 1)

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