Sucesiones Infinitas

TEMA 1: SUCESIONES INFINITAS

Sin duda, el lector habrá encontrado sucesión de números en su estudio previo de matemáticas. Por ejemplo, los números (2,4,6,8,10) definen una sucesión o secuencia. Esta se considera finita porque hay un primero y un último número. Si el conjunto de números que la define no tiene un primero y un último número, se dice que la sucesión es infinita. Por ejemplo, la secuencia definida por ( 1/3,2/5,3/7,4/9,…..) es finita por que los tres puntos indican que no hay un último número.

DEFINICION

Una sucesión(o secuencia) es una función cuyo dominio es el conjunto

{1,2,3,…,n,…}

de los enteros positivos .

Los números en el contradominio de la sucesión se llaman elementos de la misma. Si el n-esimo elemento esta dado por f(n), entonces la sucesión es el conjunto de parejas ordenadas de la forma (n,f(n)) donde n es un entero positivo.

EJEMPLO ILUSTRATIVO 1: Si f(n) = n/(2n + 1), entonces

f(1)=1/3 f(2)=2/5 f(3)=3/7 f(4)=4/9

y asi sucesivamente. El contradominio de f consiste en los elementos de la secuencia (1). Algunas de las parejas ordenadas en la sucesión f son (1, 1/3), (2, 2/5),(3,3/7),(4,4/9), y (5,5/11). La grafica se muestra en la figura 1.

Por lo general, cuando los elementos se listan en orden, se indica el n-esimo elemento de la sucesión de f(n). De esta forma, los elementos de la sucesión (1) se escriben como

1/3, 2/5, 3/7 ,4/9,…,n/(2n+1),..

Ya que el dominio de toda sucesión es el mismo, podemos usar la notación {f(n)} para representarla. Asi, la sucesión (1) se puede representar por {n/(2n+1)} . Tambien emplearemos la notación con subíndice {a_(n )}para designar la sucesión para la cual f(n)= a_(n )

Se dice que una secuencia

a_(1,) a_(2,) a_(3,)…,a_(n,)…

es igual a otra

b_(1,) b_(2,) b_(3,)…,b_(n,)…

Si y solo si a_(i = ) b_(i )para todo entero positivo i. Recordemos que una sucesión consiste en un ordenamiento de elementos. Por lo tanto, es posible que dos secuencias tengan los mismos elementos y sean desiguales.

EJERCICIOS

BIBLIOGRAFIA

LIBRO Leithold - El Cálculo con Geometría Analítica [6ta Edición]

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