Sucesion Infinita

República Bolivariana De Venezuela

Ministerio Del Poder Popular Para La Educación

Universidad Nacional Experimental Politécnica

De La Fuerza Armada

UNEFA

Nucleo_APURE

Profesor Integrantes

Humber Luna Jolman Espinoza

Sidran José

Andy Barrios

Wander Martínez

Artaona Salvador

Sección: 02-ICV-D04

San Fernando Enero Del 2013

Índice

Sucesión infinita………………………………………………..4,5

Series infinitas………………………………………………..…5,6

Criterios de convergencia………………………..………….….6

Serie geométrica………………………………………………….6

Serie armónica………...………………………………………….6

Criterio de la integral…………………………………………….7

Criterio de la Comparación…………………………………….7

Series alternantes………………………………………………..8

Serie de potencias……………………………………………….8

Serie de Taylor…………………………………………….……8,9

Aproximación de una función……………………………...9,10

Ejercicios de Todos………………………………….11,12,13,14

Introducción

El objetivo primordial de este tema es aproximar funciones mediante series de potencias. Sin embargo, antes del estudio de las series de potencias se prepara el terreno.

Mientras que los valores de funciones polinomiales pueden determinarse efectuando un numero finito de adiciones y multiplicaciones, otras funciones, entre ellas las funciones logarítmicas, exponenciales y trigonométricas, no pueden evaluarse tan fácilmente. En esta sección se mostrara que muchas funciones pueden aproximarse mediante polinomios y que el polinomio, en lugar de la función original, puede emplearse para realizar cálculos cuando la diferencia entre el valor real de la función y la aproximación polinomial es suficientemente pequeña.

Varios métodos pueden emplearse para aproximar una función dada mediante polinomios. Uno de los más ampliamente utilizados hace uso de la formula de Taylor, llamada así en honor del matemático ingles brook Taylor (1685-1731). El teorema siguiente, el cual puede considerarse como una generalización del teorema del valor medio, proporciona la formula de Taylor.

Definición de sucesión infinita

Una sucesión infinita es una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos.

En este trabajo, el intervalo de una sucesión infinita será un conjunto de números reales.

Si una función f es una sucesión infinita, entonces a cada entero positivo n le corresponde un número real f(n).Estos números del intervalo de f pueden representarse al escribir:

f(1),f(2),f(3),...f(n),...

Para obtener la forma de subíndice de una sucesión, hacemos an=f(n) para todo entero positivo n. Si consideramos una sucesión como una función f, entonces podemos considerar su grafica en un plano xy. Como el dominio de f, es el conjunto de enteros positivos, los únicos puntos de la grafica son

(1, a1), (2, a2), (3, a3),..., (n, an),...,

Donde an es el n-ésimo término de la sucesión.

De acuerdo con la definición de funciones, vemos que una sucesión a1, a2, a3,..., an es igual a una sucesión b1, b2, b3,..., bnsi y solo si ak=bk para todo entero positivo k.

Otra notación para una sucesión con n-ésimo termino an es {an}; por ejemplo, la sucesión {2n} tiene como n-ésimo termino an= 2n Con la notación de sucesiones, lo escribimos de esta manera: 21, 23,23,...,2n,...

Por definición, la sucesión {2n} es la función f con f(n)=2n Para todo entero positivo n.

A veces tendremos que hallar la suma de muchos términos de una sucesión infinita. Para mayor facilidad al expresar tal suma contamos con la notación de sumatoria. Dada una sucesión infinita

a1, a2, a3,..., an el símbolo

La letra griega mayúscula sigma Σ, indica una suma, y el símbolo ak representa el k-ésimo término. La letra k es el índice de sumatoria, o variable de sumatoria, y los números 1 y m dan los valores mínimo y máximo de variable de sumatoria respectivamente.

Series infinitas

A la suma de una sucesión de términos se denomina SERIE y el valor de dicha suma, si es que tiene alguno, se define como:

S = lim S n.

n→∞

Un ejemplo de serie infinita, denominada así debido a que dicha sucesión es infinita, es la denominada serie geométrica, la cual se obtiene a partir de un término inicial multiplicado por una cantidad constante, p. ej.

a + ar + ar 2 + ar 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + ar n −1 + ⋅ ⋅ ⋅ . En

este caso la cantidad inicial a es multiplicada por la cantidad constante r para obtener dicha serie infinita.

En general una serie infinita significa una expresión de la forma.

a1 + a2 + a3 + ⋅ ⋅ ⋅ + an + ⋅ ⋅ ⋅ ,

Donde las an son números o funciones dadas por alguna regla o fórmula. Los tres puntos significan que la serie nunca termina.

Criterios de convergencia

Una serie  ∑an  se dice que es convergente (o que converge) si la sucesión SN de sumas parciales tiene un límite finito. Si el límite de SN es infinito o no existe, se dice que la serie diverge. Cuando este límite existe, se le llama suma de la serie.

Serie geométrica

En matemática, una serie geométrica es una serie en la cual la razón entre los términos sucesivos de la serie permanece constante.

Por ejemplo la serie

Es geométrica, pues cada término

...