Sucesiones infinitas

SUCESIONES

Sucesiones infinitas: una sucesión es un arreglo de números reales. Es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales y cuyo rango es el conjunto de los reales.

Se indica mediante o

- Una sucesión se puede escribir dando suficientes números iníciales para establecer un patrón

- Mediante una fórmula explícita para el n-ésimo término

con

- O mediante una fórmula recursiva

con

Cada una describe la misma sucesión.

Definición: una sucesión tiene el límite L y escribimos

o bien cuando

Si podemos hacer que los términos sean tan cercanos a L como queramos tomando n suficientemente grande. Sí existe, decimos que la sucesión es convergente. De otro modo, decimos que la sucesión es divergente.

Teorema: si cuando n es un entero, entonces

Leyes de los límites para sucesiones

Si son sucesiones convergentes y es una constante, entonces

1.

2.

3.

4. si

5. con

Teorema: si

Teorema: si y la función es continua en L, entonces

Determinar si las sucesiones convergen o divergen, si convergen, calcule el límite.

Ejercicio

Respuesta Ejercicio

Respuesta Ejercicio

Respuesta

1.

C

2.

D 3.

C

4.

C

5.

D 6.

C

7.

D 8.

C

9.

C

10.

5C 11.

5C 12.

C

13.

5C 14.

C

15.

C

Sucesiones monótonas

Definición: una sucesión se denomina creciente si para todo , es decir . Se denomina decreciente si para todo , es decir . Una sucesión es monótona si es, ya sea creciente o decreciente.

Definición: una sucesión está acotada superiormente si hay un número M tal que para todo . Está acotada inferiormente si hay un número m tal que para todo . Si está acotada superior o inferiormente, entonces es una sucesión acotada .

Teorema de sucesiones monótonas: toda sucesión acotada, monotónica, es convergente.

Demostrar que las sucesiones son convergentes usando el teorema de sucesiones monótonas.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Determine una fórmula explicita para cada sucesión, determine si la sucesión es convergente o divergente. Si es convergente determine

1)

2)

3)

4)

5)

...