Sucesiones convergentes

Sucesiones convergentes

La definición que sigue es una de las más útiles en Matemáticas. Preferimos exponerla

formalmente y luego comentarla detenidamente para su mejor comprensión.

Sea {xn} una sucesión de números reales y sea x ∈ R. Decimos que {xn} converge a x, y

escribimos {xn} → x, cuando, para cada número real y positivo ε, puede encontrarse un número

natural m, de forma que se tenga |xn − x| < ε para cualquier n ∈ N que verifique n > m. Así

pues, simbólicamente:

{xn} → x ⇐⇒ -

∀ε > 0 ∃m ∈ N : n > m ⇒ |xn −x| < ε



(∗)

Nótese que escribimos ε > 0 en lugar de ε ∈ R

+, se sobreentiende que ε es un número real y se

enfatiza que es positivo. Igualmente se sobreentiende que n ∈ N y se enfatiza que n > m.

Antes que nada conviene resaltar que el número natural m que aparece en (∗) dependerá

usualmente del número positivo ε mencionado previamente. Para probar que {xn} → x debemos

precisamente encontrar alguna regla que a cada número positivo ε asocie un número natural m

con la propiedad requerida: que se tenga |xn −x| < ε para n > m.

La desigualdad |xn − x| < ε es tanto más exigente cuanto más pequeño sea ε y equivale a

que se tenga x−ε < xn < x+ε. Por tanto, en (∗) se afirma que, por muy pequeño que sea ε > 0,

el intervalo ]x−ε,x+ε[ contiene a todos los términos de la sucesión a partir de uno en adelante

o, si se quiere, a todos los términos suficientemente avanzados. También debemos recordar que

|xn −x| es la distancia entre los puntos xn y x de la recta real, luego {xn} → x cuando podemos

asegurar que xn está tan cerca de x como queramos (a distancia menor que un ε > 0 dado) para

todo número natural n suficientemente grande.

Podemos también reformular la definición de convergencia, pensando en los términos que

no verifican la desigualdad que en ella aparece. Más concretamente, para cada ε > 0 podemos

pensar en el conjunto Aε = {n ∈ N : |xn −x| > ε}. Decir que |xn −x| < ε para n > m equivale

a decir que Aε ⊂ {n ∈ N : n < m}, lo que a su vez equivale a decir que Aε es finito.

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