TEOREMA DE BOLZANO

TEOREMA DE BOLZANO

Si f es continua en [a, b] y f(a) < 0 < f(b), existe algún número [pic 1] en [a, b] tal que f([pic 2])=0

Demostración

[pic 3]

Llamemos A = {x[pic 4][a, b]/f es negativa en el intervalo [a, x]}

Entonces A[pic 5] puesto que a[pic 6]A

Por ser f continua y f(a)< 0 entonces existe [pic 7]1>0 tal que f(x) < 0 en [a, a+[pic 8]1) luego  [a, a+[pic 9]1) [pic 10]A

b es una cota superior de A y por ser f(b)< 0 existe [pic 11]2> 0 tal que f(x)>0 en (b-[pic 12]2, b], por la continuidad de f en b. Entonces todos esos puntos son cotas superiores de A.

Por lo tanto podemos asegurar que existe el supremo de A , (“si A es un conjunto no vacío de números reales y A está acotado superiormente entonces tiene supremo”), le llamamos [pic 13], se verificará entonces  a< [pic 14] < b, y vamos a probar que f([pic 15]) = 0

Lo haremos por reducción al absurdo.

Supongamos que f([pic 16])< 0, entonces existe [pic 17]>0 tal que f(x)< 0 para [pic 18]-[pic 19] <  x <[pic 20]+ [pic 21]

Por ser [pic 22] el supremo de A, dado ese [pic 23] >0  existe x0 perteneciente a A tal que  [pic 24] -[pic 25] < x0 < [pic 26], por definición de supremo. Como x0 pertenece a A, por su definición, se sigue que f es negativa en [a, x0].

Si x1 es un número comprendido entre [pic 27] y [pic 28] + [pic 29] f es también negativa en todo el intervalo [x0, x1], luego f será negativa también en [a, x1] , de donde x1 pertenece a A, en contra de que [pic 30] era el supremo. Luego no puede ser f([pic 31])< 0.

Análogamente se demuestra que no puede ser f([pic 32])>0

Como conclusión deducimos que f([pic 33])=0 que es lo que queríamos probar.

Consecuencia: Teorema de los valores intermedios

Si f es continua en [a, b] y f(a) < c < f(b), existe x perteneciente a [a, b] tal que f(x)=c

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